Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có tất cả các cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác AEF. Tính khoảng cách từ A đến mp(GBC).

Question

Accepted Answer

Để tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (GBC) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm:

Giả sử $ A(0, 0, 0) $, $ B(a, 0, 0) $, $ C(a, a, 0) $, $ D(0, a, 0) $, $ E(0, 0, a) $, $ F(a, 0, a) $.

2. Tìm tọa độ điểm $ G $:

Điểm $ G $ là trọng tâm của tam giác $ AEF $, do đó tọa độ của $ G $ là trung bình cộng tọa độ của $ A $, $ E $, $ F $.

$$
   G\left(\frac{0 + 0 + a}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + a + a}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, 0, \frac{2a}{3}\right)
   $$

3. Viết phương trình mặt phẳng $ (GBC) $:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (GBC) $. Ta cần hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng này:
     - $\overrightarrow{GB} = \left(a - \frac{a}{3}, 0 - 0, 0 - \frac{2a}{3}\right) = \left(\frac{2a}{3}, 0, -\frac{2a}{3}\right)$
     - $\overrightarrow{GC} = \left(a - \frac{a}{3}, a - 0, 0 - \frac{2a}{3}\right) = \left(\frac{2a}{3}, a, -\frac{2a}{3}\right)$

- Tích có hướng của hai vectơ này là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
     $$
     \overrightarrow{n} = \overrightarrow{GB} \times \overrightarrow{GC} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     \frac{2a}{3} & 0 & -\frac{2a}{3} \
     \frac{2a}{3} & a & -\frac{2a}{3}
     \end{vmatrix}
     $$

$$
     = \mathbf{i} \left(0 - (-\frac{2a^2}{9})\right) - \mathbf{j} \left(-\frac{4a^2}{9} - (-\frac{4a^2}{9})\right) + \mathbf{k} \left(\frac{2a^2}{3} - 0\right)
     $$

$$
     = \mathbf{i} \cdot \frac{2a^2}{9} + \mathbf{k} \cdot \frac{2a^2}{3}
     $$

$$
     = \left(\frac{2a^2}{9}, 0, \frac{2a^2}{3}\right)
     $$

- Phương trình mặt phẳng $ (GBC) $ có dạng:
     $$
     \frac{2a^2}{9}(x - \frac{a}{3}) + \frac{2a^2}{3}(z - \frac{2a}{3}) = 0
     $$

- Rút gọn phương trình:
     $$
     \frac{2a^2}{9}x + \frac{2a^2}{3}z = \frac{2a^3}{9} + \frac{4a^3}{9}
     $$

$$
     \Rightarrow \frac{2a^2}{9}x + \frac{2a^2}{3}z = \frac{6a^3}{9}
     $$

$$
     \Rightarrow x + 3z = 3a
     $$

4. Tính khoảng cách từ $ A(0, 0, 0) $ đến mặt phẳng $ (GBC) $:

Công thức khoảng cách từ điểm $ A(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ Ax + By + Cz + D = 0 $ là:
   $$
   d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
   $$

Thay vào phương trình:
   $$
   d = \frac{|0 + 0 + 0 - 3a|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2}} = \frac{3a}{\sqrt{10}}
   $$

Vậy, khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ (GBC) $ là $ \frac{3a}{\sqrt{10}} $.