Làm giúp mình

Bài 2: Để tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho hàm số đạt cực trị tại một điểm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) là \( f'(x) \). 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): Tìm các giá trị của \( x \) mà tại đó đạo hàm bằng không. Đây là các điểm nghi ngờ là điểm cực trị. 3. Kiểm tra dấu của đạo hàm: Xác định dấu của \( f'(x) \) trước và sau mỗi điểm nghi ngờ để xác định xem điểm đó có phải là điểm cực đại hay cực tiểu. 4. Thay giá trị của \( x \) vào hàm số ban đầu: Tìm giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. 5. Xác định giá trị của \( m \): Dựa trên điều kiện đã cho, tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số đạt cực trị tại điểm đó. Ví dụ cụ thể: Giả sử hàm số \( f(x) = mx^3 + nx^2 + px + q \). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3mx^2 + 2nx + p \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3mx^2 + 2nx + p = 0 \] Giải phương trình bậc hai này để tìm các giá trị của \( x \). 3. Kiểm tra dấu của đạo hàm: Xác định dấu của \( f'(x) \) trước và sau mỗi điểm nghi ngờ để xác định xem điểm đó có phải là điểm cực đại hay cực tiểu. 4. Thay giá trị của \( x \) vào hàm số ban đầu: Tìm giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. 5. Xác định giá trị của \( m \): Dựa trên điều kiện đã cho, tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số đạt cực trị tại điểm đó. Ví dụ, nếu điều kiện là hàm số đạt cực trị tại \( x = 1 \): \[ f'(1) = 3m(1)^2 + 2n(1) + p = 0 \] \[ 3m + 2n + p = 0 \] Từ đây, ta có thể tìm giá trị của \( m \) dựa trên các giá trị khác đã biết. Như vậy, để tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số đạt cực trị tại một điểm, ta cần thực hiện các bước trên. Câu 1: Để tìm giá trị thực của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3 \) đạt cực đại tại điểm \( x = 3 \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3\right) \] \[ y' = x^2 - 2mx + (m^2 - 4) \] 2. Đặt \( y' = 0 \) và thay \( x = 3 \) vào phương trình này: \[ y'(3) = 3^2 - 2m \cdot 3 + (m^2 - 4) = 0 \] \[ 9 - 6m + m^2 - 4 = 0 \] \[ m^2 - 6m + 5 = 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai \( m^2 - 6m + 5 = 0 \): \[ m^2 - 6m + 5 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -6 \), và \( c = 5 \): \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \] \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} \] \[ m = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ m = \frac{6 \pm 4}{2} \] \[ m = \frac{10}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{2}{2} \] \[ m = 5 \quad \text{hoặc} \quad m = 1 \] 4. Kiểm tra điều kiện để hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \): Để hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \), đạo hàm bậc hai \( y'' \) tại \( x = 3 \) phải âm: \[ y'' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2mx + (m^2 - 4)) \] \[ y'' = 2x - 2m \] Thay \( x = 3 \): \[ y''(3) = 2 \cdot 3 - 2m = 6 - 2m \] Để \( y''(3) < 0 \): \[ 6 - 2m < 0 \] \[ 6 < 2m \] \[ m > 3 \] 5. So sánh các giá trị \( m \) đã tìm được với điều kiện \( m > 3 \): - \( m = 5 \) thỏa mãn điều kiện \( m > 3 \). - \( m = 1 \) không thỏa mãn điều kiện \( m > 3 \). Vậy giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3 \) đạt cực đại tại điểm \( x = 3 \) là: \[ \boxed{B.~m=5} \] Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho hàm số \(y = x^3 + 2ax^2 + 4bx - 2018\) đạt cực trị tại \(x = -1\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \(y\): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 2ax^2 + 4bx - 2018) \] \[ y' = 3x^2 + 4ax + 4b \] Bước 2: Vì hàm số đạt cực trị tại \(x = -1\), nên \(y'(-1) = 0\): \[ y'(-1) = 3(-1)^2 + 4a(-1) + 4b = 0 \] \[ 3 - 4a + 4b = 0 \] \[ 3 = 4a - 4b \] \[ 4a - 4b = 3 \] \[ a - b = \frac{3}{4} \] Vậy hiệu \(a - b\) là: \[ a - b = \frac{3}{4} \] Đáp án đúng là: \[ C. \frac{3}{4} \] Câu 3: Để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}(2m+3)x^2 + (m^2 + 3m - 4)x \) đạt cực tiểu tại \( x = 1 \), ta cần kiểm tra hai điều kiện: 1. Đạo hàm bậc nhất \( y' \) bằng 0 tại \( x = 1 \). 2. Đạo hàm bậc hai \( y'' \) dương tại \( x = 1 \). Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất \( y' \): \[ y' = x^2 - (2m + 3)x + (m^2 + 3m - 4) \] Thay \( x = 1 \) vào \( y' \): \[ y'(1) = 1^2 - (2m + 3)(1) + (m^2 + 3m - 4) \] \[ y'(1) = 1 - 2m - 3 + m^2 + 3m - 4 \] \[ y'(1) = m^2 + m - 6 \] Đặt \( y'(1) = 0 \): \[ m^2 + m - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ m^2 + m - 6 = 0 \] \[ (m + 3)(m - 2) = 0 \] \[ m = -3 \quad \text{hoặc} \quad m = 2 \] Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai \( y'' \): \[ y'' = 2x - (2m + 3) \] Thay \( x = 1 \) vào \( y'' \): \[ y''(1) = 2(1) - (2m + 3) \] \[ y''(1) = 2 - 2m - 3 \] \[ y''(1) = -2m - 1 \] Để hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \), \( y''(1) \) phải dương: \[ -2m - 1 > 0 \] \[ -2m > 1 \] \[ m < -\frac{1}{2} \] Kiểm tra các giá trị \( m \) đã tìm được: - Với \( m = -3 \): \[ y''(1) = -2(-3) - 1 = 6 - 1 = 5 > 0 \] Thỏa mãn điều kiện. - Với \( m = 2 \): \[ y''(1) = -2(2) - 1 = -4 - 1 = -5 < 0 \] Không thỏa mãn điều kiện. Vậy, giá trị của \( m \) để hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \) là \( m = -3 \). Đáp án đúng là: \( B.~m=-3 \). Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( y = x^3 - 2x^2 + mx + 3 \) đạt cực tiểu tại \( x = 1 \). Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + mx + 3) = 3x^2 - 4x + m \] Bước 2: Vì hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \), nên đạo hàm bậc nhất tại \( x = 1 \) phải bằng 0: \[ y'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + m = 0 \] \[ 3 - 4 + m = 0 \] \[ -1 + m = 0 \] \[ m = 1 \] Bước 3: Kiểm tra đạo hàm bậc hai để đảm bảo rằng \( x = 1 \) là điểm cực tiểu: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x + m) = 6x - 4 \] \[ y''(1) = 6(1) - 4 = 6 - 4 = 2 \] Vì \( y''(1) > 0 \), nên \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Do đó, giá trị của \( m \) là 1. Đáp án: D. 1 Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm điều kiện để hàm số \( y = -x^4 + 2mx^2 + 1 \) đạt cực tiểu tại \( x = 0 \). a) Xét hàm số \( y = -x^4 + 2mx^2 + 1 \) 1. Tính đạo hàm: Đạo hàm bậc nhất của hàm số là: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2mx^2 + 1) = -4x^3 + 4mx \] 2. Điều kiện để \( x = 0 \) là điểm cực trị: Để \( x = 0 \) là điểm cực trị, ta cần \( y'(0) = 0 \): \[ y'(0) = -4(0)^3 + 4m(0) = 0 \] Điều kiện này luôn đúng, không phụ thuộc vào \( m \). 3. Xét đạo hàm bậc hai: Đạo hàm bậc hai của hàm số là: \[ y'' = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 4mx) = -12x^2 + 4m \] Để \( x = 0 \) là điểm cực tiểu, cần \( y''(0) > 0 \): \[ y''(0) = -12(0)^2 + 4m = 4m > 0 \] Suy ra \( m > 0 \). Vậy, hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 0 \) khi \( m > 0 \). Do đó, đáp án đúng là \( D. ~m > 0 \). b) Bài toán cực trị của hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) Để tìm cực trị của hàm số bậc ba \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm bậc nhất: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] 2. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm thực tùy thuộc vào giá trị của \( a, b, c \). 3. Xét dấu của đạo hàm bậc hai: Đạo hàm bậc hai là: \[ y'' = 6ax + 2b \] Tại các nghiệm của \( y' = 0 \), xét dấu của \( y'' \) để xác định loại cực trị (cực đại hay cực tiểu). 4. Kết luận: - Nếu \( y'' > 0 \) tại nghiệm, đó là điểm cực tiểu. - Nếu \( y'' < 0 \) tại nghiệm, đó là điểm cực đại. Với các bước trên, ta có thể xác định các điểm cực trị của hàm số bậc ba.