Làm giúp mình

Câu 17: Để tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) sao cho hàm số \( f(x) = x^4 + x^3 - mx^3 \) có 3 điểm cực trị, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 + x^3 - mx^3) \] f'(x) = 4x^3 + 3x^2 - 3mx^2 f'(x) = 4x^3 + (3 - 3m)x^2 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: 4x^3 + (3 - 3m)x^2 = 0 x^2(4x + 3 - 3m) = 0 Từ đây, ta có hai trường hợp: x^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x + 3 - 3m = 0 x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3m - 3}{4} 3. Xác định số lượng điểm cực trị: Hàm số \( f(x) \) có 3 điểm cực trị nếu phương trình \( f'(x) = 0 \) có ba nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi \( x = 0 \) và \( x = \frac{3m - 3}{4} \) là hai nghiệm khác nhau. Do đó, \( \frac{3m - 3}{4} \neq 0 \): 3m - 3 \neq 0 m \neq 1 4. Kiểm tra tính chất của các điểm tới hạn: Để đảm bảo rằng hàm số có 3 điểm cực trị, ta cần kiểm tra dấu của \( f'(x) \) quanh các điểm tới hạn. - Khi \( x = 0 \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 + (3 - 3m)x^2) \] f''(x) = 12x^2 + 2(3 - 3m)x f''(0) = 0 - Khi \( x = \frac{3m - 3}{4} \): f''\left(\frac{3m - 3}{4}\right) = 12\left(\frac{3m - 3}{4}\right)^2 + 2(3 - 3m)\left(\frac{3m - 3}{4}\right) f''\left(\frac{3m - 3}{4}\right) = 12\left(\frac{(3m - 3)^2}{16}\right) + 2(3 - 3m)\left(\frac{3m - 3}{4}\right) f''\left(\frac{3m - 3}{4}\right) = \frac{12(3m - 3)^2}{16} + \frac{2(3 - 3m)(3m - 3)}{4} f''\left(\frac{3m - 3}{4}\right) = \frac{3(3m - 3)^2}{4} + \frac{(3 - 3m)(3m - 3)}{2} Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 18: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = (1-m)x^4 - mx^2 + 2m - 1 \) có đúng một cực trị, ta cần xét điều kiện để hàm số có đúng một điểm cực trị. Trước tiên, ta tính đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}((1-m)x^4 - mx^2 + 2m - 1) = 4(1-m)x^3 - 2mx. \] Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4(1-m)x^3 - 2mx = 0. \] Rút gọn phương trình: \[ 2x(2(1-m)x^2 - m) = 0. \] Phương trình này có hai nhân tử: 1. \( 2x = 0 \) cho \( x = 0 \). 2. \( 2(1-m)x^2 - m = 0 \). Giải phương trình thứ hai: \[ 2(1-m)x^2 = m \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{m}{2(1-m)}. \] Để hàm số có đúng một điểm cực trị, phương trình \( x^2 = \frac{m}{2(1-m)} \) không được có nghiệm thực khác \( x = 0 \). Điều này xảy ra khi: - \( \frac{m}{2(1-m)} \leq 0 \). Xét điều kiện: 1. \( m \leq 0 \) (vì \( m \geq 0 \) sẽ làm cho \( \frac{m}{2(1-m)} \) dương khi \( m < 1 \)). 2. \( 1-m < 0 \) (tức là \( m > 1 \)). Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: - \( m \leq 0 \) hoặc \( m > 1 \). Vậy đáp án đúng là \( C.~m\leq0 \) hoặc \( m\geq1 \). Câu 19: Để đồ thị hàm số \( y = m^2x^4 - (m^2 - 5m)x^2 + 7 \) có đúng một cực trị, ta cần xét đạo hàm bậc nhất của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất \( y' \): \[ y' = 4m^2x^3 - 2(m^2 - 5m)x \] Bước 2: Đặt \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ 4m^2x^3 - 2(m^2 - 5m)x = 0 \] \[ 2x(2m^2x^2 - (m^2 - 5m)) = 0 \] Bước 3: Giải phương trình trên: \[ 2x(2m^2x^2 - (m^2 - 5m)) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2m^2x^2 - (m^2 - 5m) = 0 \] Bước 4: Xét trường hợp \( x = 0 \): \[ y''(0) = 12m^2 \cdot 0^2 - 2(m^2 - 5m) = -2(m^2 - 5m) \] Bước 5: Xét trường hợp \( 2m^2x^2 - (m^2 - 5m) = 0 \): \[ 2m^2x^2 = m^2 - 5m \] \[ x^2 = \frac{m^2 - 5m}{2m^2} \] Bước 6: Để đồ thị hàm số có đúng một cực trị, phương trình \( 2m^2x^2 - (m^2 - 5m) = 0 \) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép: \[ \frac{m^2 - 5m}{2m^2} \leq 0 \] \[ m^2 - 5m \leq 0 \] \[ m(m - 5) \leq 0 \] Bước 7: Giải bất phương trình: \[ m(m - 5) \leq 0 \] \[ 0 \leq m \leq 5 \] Bước 8: Kiểm tra các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \( 0 \leq m \leq 5 \): \[ m = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \] Bước 9: Kiểm tra lại các giá trị này để đảm bảo đồ thị hàm số có đúng một cực trị: - Với \( m = 0 \): \[ y = 0 \cdot x^4 - (0 - 0)x^2 + 7 = 7 \] \[ y' = 0 \] Hàm số không có cực trị. - Với \( m = 1 \): \[ y = 1 \cdot x^4 - (1 - 5)x^2 + 7 = x^4 + 4x^2 + 7 \] \[ y' = 4x^3 + 8x \] \[ 4x(x^2 + 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 + 2 = 0 \] \[ x = 0 \] Hàm số có đúng một cực trị. - Với \( m = 2 \): \[ y = 4x^4 - (4 - 10)x^2 + 7 = 4x^4 + 6x^2 + 7 \] \[ y' = 16x^3 + 12x \] \[ 4x(4x^2 + 3) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x^2 + 3 = 0 \] \[ x = 0 \] Hàm số có đúng một cực trị. - Với \( m = 3 \): \[ y = 9x^4 - (9 - 15)x^2 + 7 = 9x^4 + 6x^2 + 7 \] \[ y' = 36x^3 + 12x \] \[ 12x(3x^2 + 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3x^2 + 1 = 0 \] \[ x = 0 \] Hàm số có đúng một cực trị. - Với \( m = 4 \): \[ y = 16x^4 - (16 - 20)x^2 + 7 = 16x^4 + 4x^2 + 7 \] \[ y' = 64x^3 + 8x \] \[ 8x(8x^2 + 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 8x^2 + 1 = 0 \] \[ x = 0 \] Hàm số có đúng một cực trị. - Với \( m = 5 \): \[ y = 25x^4 - (25 - 25)x^2 + 7 = 25x^4 + 7 \] \[ y' = 100x^3 \] \[ 100x^3 = 0 \] \[ x = 0 \] Hàm số có đúng một cực trị. Bước 10: Kết luận: Các giá trị nguyên của \( m \) để đồ thị hàm số \( y = m^2x^4 - (m^2 - 5m)x^2 + 7 \) có đúng một cực trị là \( m = 1, 2, 3, 4, 5 \). Đáp án: B. 5 Câu 20: Để tìm các giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( y = x^4 - 2(m-1)x^2 - 3 + m \) có đúng một điểm cực trị, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2(m-1)x^2 - 3 + m) = 4x^3 - 4(m-1)x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 4(m-1)x = 0 \] \[ 4x(x^2 - (m-1)) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = m-1 \] 3. Phân tích các trường hợp: - Nếu \( m - 1 < 0 \) (tức là \( m < 1 \)): \[ x^2 = m-1 \quad \text{(vô nghiệm)} \] Do đó, phương trình \( y' = 0 \) chỉ có nghiệm duy nhất \( x = 0 \). Hàm số có đúng một điểm cực trị tại \( x = 0 \). - Nếu \( m - 1 = 0 \) (tức là \( m = 1 \)): \[ x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] Phương trình \( y' = 0 \) cũng chỉ có nghiệm duy nhất \( x = 0 \). Hàm số có đúng một điểm cực trị tại \( x = 0 \). - Nếu \( m - 1 > 0 \) (tức là \( m > 1 \)): \[ x^2 = m-1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{m-1} \] Phương trình \( y' = 0 \) có ba nghiệm \( x = 0, x = \sqrt{m-1}, x = -\sqrt{m-1} \). Hàm số có ba điểm tới hạn, do đó sẽ có nhiều hơn một điểm cực trị. 4. Kết luận: Hàm số \( y = x^4 - 2(m-1)x^2 - 3 + m \) có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi \( m \leq 1 \). Đáp án: \( A.~m \leq 1 \) Câu 21: Để tìm điều kiện của tham số thực \( m \) sao cho hàm số \( y = -x^4 + (m+1)x^2 + 3 \) có 2 cực đại và 1 cực tiểu, ta tiến hành các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + (m+1)x^2 + 3) = -4x^3 + 2(m+1)x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -4x^3 + 2(m+1)x = 0 \] \[ -2x(2x^2 - (m+1)) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 - (m+1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = \frac{m+1}{2} \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \sqrt{\frac{m+1}{2}} \] 3. Phân tích các điểm tới hạn: - Nếu \( m + 1 > 0 \), tức là \( m > -1 \), thì \( x = \pm \sqrt{\frac{m+1}{2}} \) là các điểm tới hạn khác 0. - Nếu \( m + 1 = 0 \), tức là \( m = -1 \), thì \( x = 0 \) là duy nhất điểm tới hạn. - Nếu \( m + 1 < 0 \), tức là \( m < -1 \), thì không có điểm tới hạn nào khác ngoài \( x = 0 \). 4. Xác định tính chất của các điểm tới hạn: - Để hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu, cần có ba điểm tới hạn: \( x = 0 \) và \( x = \pm \sqrt{\frac{m+1}{2}} \). Điều này xảy ra khi \( m + 1 > 0 \), tức là \( m > -1 \). 5. Kiểm tra tính chất của các điểm tới hạn: - Đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 2(m+1)x) = -12x^2 + 2(m+1) \] - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 2(m+1) \] - Nếu \( m + 1 > 0 \), tức là \( m > -1 \), thì \( y''(0) > 0 \), suy ra \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = \pm \sqrt{\frac{m+1}{2}} \): \[ y''\left(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2}}\right) = -12 \left(\frac{m+1}{2}\right) + 2(m+1) = -6(m+1) + 2(m+1) = -4(m+1) \] - Nếu \( m + 1 > 0 \), tức là \( m > -1 \), thì \( y''\left(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2}}\right) < 0 \), suy ra \( x = \pm \sqrt{\frac{m+1}{2}} \) là các điểm cực đại. 6. Kết luận: Hàm số \( y = -x^4 + (m+1)x^2 + 3 \) có 2 cực đại và 1 cực tiểu khi \( m > -1 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~m > -1 \] Câu 22: Để tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = x^4 - 3mx^2 + 2 \) có ba điểm cực trị, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 3mx^2 + 2) = 4x^3 - 6mx \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 6mx = 0 \] Ta có thể nhân chia để đơn giản hóa: \[ 2x(2x^2 - 3m) = 0 \] Từ đây suy ra: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 - 3m = 0 \] Giải tiếp phương trình \( 2x^2 - 3m = 0 \): \[ 2x^2 = 3m \implies x^2 = \frac{3m}{2} \] Để \( x^2 = \frac{3m}{2} \) có nghiệm thực, cần có: \[ \frac{3m}{2} \geq 0 \implies m \geq 0 \] 3. Phân tích các trường hợp của \( m \): - Nếu \( m > 0 \): \[ x^2 = \frac{3m}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{3m}{2}} \] Do đó, ta có ba nghiệm \( x = 0 \), \( x = \sqrt{\frac{3m}{2}} \), và \( x = -\sqrt{\frac{3m}{2}} \). - Nếu \( m = 0 \): \[ 2x^2 = 0 \implies x = 0 \] Chỉ có một nghiệm \( x = 0 \). - Nếu \( m < 0 \): \[ \frac{3m}{2} < 0 \implies x^2 = \frac{3m}{2} \quad \text{(không có nghiệm thực)} \] Chỉ có một nghiệm \( x = 0 \). 4. Kết luận: Hàm số \( y = x^4 - 3mx^2 + 2 \) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi \( m > 0 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~m > 0} \] Câu 23: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( y = x^4 - 2mx^2 + m \) có 2 cực tiểu và 1 cực đại. Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số Đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2mx^2 + m) = 4x^3 - 4mx \] Bước 2: Tìm các điểm dừng Đặt \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 4mx = 0 \] \[ 4x(x^2 - m) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = m \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \sqrt{m} \] Bước 3: Xác định điều kiện để có 2 cực tiểu và 1 cực đại Để hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại, phương trình \( x^2 = m \) phải có hai nghiệm thực khác nhau, tức là \( m > 0 \). Bước 4: Kiểm tra dấu của đạo hàm - Khi \( m > 0 \), ta có \( x = 0 \) và \( x = \pm \sqrt{m} \). - Ta sẽ kiểm tra dấu của \( y' \) trong các khoảng \( (-\infty, -\sqrt{m}) \), \( (-\sqrt{m}, 0) \), \( (0, \sqrt{m}) \), và \( (\sqrt{m}, \infty) \). Khoảng \( (-\infty, -\sqrt{m}) \): Chọn \( x = -\sqrt{m} - 1 \): \[ y' = 4(-\sqrt{m} - 1)^3 - 4m(-\sqrt{m} - 1) \] \[ = 4(-(\sqrt{m} + 1))^3 - 4m(-\sqrt{m} - 1) \] \[ = 4(-(\sqrt{m} + 1))^3 + 4m(\sqrt{m} + 1) \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 24: Để tìm điều kiện của \(a\) và \(b\) sao cho hàm số bậc bốn \(y = ax^4 + bx^2 + 1\) có đúng một điểm cực trị và điểm cực trị đó là điểm cực tiểu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm cấp một của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(ax^4 + bx^2 + 1) = 4ax^3 + 2bx \] 2. Giải phương trình \(y' = 0\) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4ax^3 + 2bx = 0 \] \[ 2x(2ax^2 + b) = 0 \] Từ đây, ta có hai trường hợp: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2ax^2 + b = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = -\frac{b}{2a} \] 3. Phân tích các trường hợp: - Nếu \(a > 0\): - Phương trình \(x^2 = -\frac{b}{2a}\) có nghiệm thực nếu \(-\frac{b}{2a} \geq 0\), tức là \(b \leq 0\). - Nếu \(b < 0\), thì \(x^2 = -\frac{b}{2a}\) có hai nghiệm thực khác nhau, tức là \(x = \pm \sqrt{-\frac{b}{2a}}\). Do đó, hàm số sẽ có ba điểm tới hạn (\(x = 0\), \(x = \sqrt{-\frac{b}{2a}}\), và \(x = -\sqrt{-\frac{b}{2a}}\)), mâu thuẫn với yêu cầu có đúng một điểm cực trị. - Nếu \(b = 0\), thì \(x^2 = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\). Hàm số sẽ có đúng một điểm tới hạn tại \(x = 0\). - Nếu \(a < 0\): - Phương trình \(x^2 = -\frac{b}{2a}\) có nghiệm thực nếu \(-\frac{b}{2a} \geq 0\), tức là \(b \geq 0\). - Nếu \(b > 0\), thì \(x^2 = -\frac{b}{2a}\) có hai nghiệm thực khác nhau, tức là \(x = \pm \sqrt{-\frac{b}{2a}}\). Do đó, hàm số sẽ có ba điểm tới hạn (\(x = 0\), \(x = \sqrt{-\frac{b}{2a}}\), và \(x = -\sqrt{-\frac{b}{2a}}\)), mâu thuẫn với yêu cầu có đúng một điểm cực trị. - Nếu \(b = 0\), thì \(x^2 = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\). Hàm số sẽ có đúng một điểm tới hạn tại \(x = 0\). 4. Kiểm tra tính chất của điểm tới hạn: - Nếu \(a > 0\) và \(b = 0\): \[ y'' = \frac{d}{dx}(4ax^3 + 2bx) = 12ax^2 + 2b \] Tại \(x = 0\): \[ y''(0) = 12a(0)^2 + 2b = 2b = 0 \] Điều này không đủ để xác định tính chất của điểm tới hạn. - Nếu \(a > 0\) và \(b < 0\): \[ y'' = 12ax^2 + 2b \] Tại \(x = 0\): \[ y''(0) = 12a(0)^2 + 2b = 2b < 0 \] Điều này cho thấy \(x = 0\) là điểm cực đại, mâu thuẫn với yêu cầu điểm cực trị là điểm cực tiểu. - Nếu \(a < 0\) và \(b > 0\): \[ y'' = 12ax^2 + 2b \] Tại \(x = 0\): \[ y''(0) = 12a(0)^2 + 2b = 2b > 0 \] Điều này cho thấy \(x = 0\) là điểm cực tiểu. Vậy, điều kiện của \(a\) và \(b\) để hàm số \(y = ax^4 + bx^2 + 1\) có đúng một điểm cực trị và điểm cực trị đó là điểm cực tiểu là: \[ a > 0 \quad \text{và} \quad b \geq 0 \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~a>0,~b\geq0.} \]