Giúp mình vs

Câu 20: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số Cho hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 1 \). Để tìm các điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = x^2 - 4x + 3. \] Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ x^2 - 4x + 3 = 0. \] Phương trình này có nghiệm: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}. \] Do đó, \( x = 3 \) hoặc \( x = 1 \). Bước 2: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị - Với \( x = 1 \): \[ y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 - 1 = \frac{1}{3}. \] - Với \( x = 3 \): \[ y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) - 1 = \frac{27}{3} - 18 + 9 - 1 = -1. \] Vậy, giá trị cực đại của hàm số là \(\frac{1}{3}\), đạt được khi \( x = 1 \), và giá trị cực tiểu là \(-1\), đạt được khi \( x = 3 \). Bước 3: Xác định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị Hai điểm cực trị là \( A(1, \frac{1}{3}) \) và \( B(3, -1) \). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \) có dạng: \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1). \] Thay \( A(1, \frac{1}{3}) \) và \( B(3, -1) \) vào, ta có: \[ y - \frac{1}{3} = \frac{-1 - \frac{1}{3}}{3 - 1}(x - 1). \] \[ y - \frac{1}{3} = \frac{-4/3}{2}(x - 1). \] \[ y - \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}(x - 1). \] \[ y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}. \] \[ y = -\frac{2}{3}x + 1. \] Bước 4: Kiểm tra điểm \( M(6, -3) \) thuộc đường thẳng Thay tọa độ điểm \( M(6, -3) \) vào phương trình đường thẳng: \[ -3 = -\frac{2}{3}(6) + 1. \] \[ -3 = -4 + 1. \] \[ -3 = -3. \] Vậy, điểm \( M(6, -3) \) thuộc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Bước 5: Tính diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng và trục tọa độ Đường thẳng \( y = -\frac{2}{3}x + 1 \) cắt trục hoành (Ox) khi \( y = 0 \): \[ 0 = -\frac{2}{3}x + 1 \] \[ x = \frac{3}{2}. \] Đường thẳng cắt trục tung (Oy) khi \( x = 0 \): \[ y = 1. \] Tam giác tạo bởi đường thẳng và hai trục tọa độ có đỉnh tại \( (0, 1) \), \( (\frac{3}{2}, 0) \), và gốc tọa độ \( (0, 0) \). Diện tích tam giác là: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{4}. \] Vậy, diện tích tam giác là \(\frac{3}{4}\), không phải \(\frac{3}{2}\) như đề bài đã nêu. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc cần kiểm tra lại các bước tính toán. Câu 21: Để giải quyết các phần của bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định. Phần a: Số điểm cực tiểu của hàm số trên là 1. Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \): \[ y' = 4x^3 - 4x \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Tiếp theo, ta tìm đạo hàm bậc hai để kiểm tra tính chất của các điểm này: \[ y'' = 12x^2 - 4 \] Kiểm tra tại các điểm \( x = 0, x = 1, x = -1 \): - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0 \] Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. Như vậy, hàm số có 2 điểm cực tiểu tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \). Khẳng định a sai. Phần b: Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. Từ phần a, ta đã tìm thấy 2 điểm cực tiểu tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \), và 1 điểm cực đại tại \( x = 0 \). Khẳng định b đúng. Phần c: Ba điểm cực trị A, B, C của đồ thị (C) tạo thành một tam giác vuông. Ta tìm tọa độ các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 2 = 2 \] Điểm cực đại là \( (0, 2) \). - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \] Điểm cực tiểu là \( (1, 1) \). - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \] Điểm cực tiểu là \( (-1, 1) \). Ba điểm cực trị là \( A(0, 2) \), \( B(1, 1) \), và \( C(-1, 1) \). Ta kiểm tra xem ba điểm này có tạo thành tam giác vuông hay không bằng cách tính khoảng cách giữa các điểm: - Khoảng cách từ \( A \) đến \( B \): \[ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] - Khoảng cách từ \( A \) đến \( C \): \[ AC = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] - Khoảng cách từ \( B \) đến \( C \): \[ BC = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4} = 2 \] Ta thấy rằng \( AB^2 + AC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4 = BC^2 \). Do đó, tam giác \( ABC \) là tam giác vuông. Khẳng định c đúng. Phần d: Diện tích tam giác ABC bằng 1. Diện tích tam giác vuông \( ABC \) có cạnh huyền \( BC = 2 \) và hai cạnh góc vuông \( AB = AC = \sqrt{2} \) là: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \] Khẳng định d đúng. Kết luận: - Khẳng định a sai. - Khẳng định b đúng. - Khẳng định c đúng. - Khẳng định d đúng.