giúp t giải với ạ

Câu 33: Để tìm một nguyên hàm của \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = x^2 + 1 \). Khi đó, \( du = 2x \, dx \) hoặc \( x \, dx = \frac{1}{2} \, du \). Bước 2: Thay đổi biến số trong tích phân. \[ \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du \] Bước 3: Tính tích phân. \[ \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. \[ \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |x^2 + 1| + C \] Vì \( x^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x \), nên ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối: \[ \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + C \] Do đó, một nguyên hàm của \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) là \( \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) \). Đáp án đúng là: C. \( \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) \) Câu 34: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x \cdot \sqrt{x^2 + 5} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến. Bước 1: Đặt \( u = x^2 + 5 \). Khi đó, \( du = 2x \, dx \) hoặc \( x \, dx = \frac{1}{2} \, du \). Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ f(x) = x \cdot \sqrt{x^2 + 5} = x \cdot \sqrt{u} \] Bước 3: Thay \( x \, dx = \frac{1}{2} \, du \): \[ \int x \cdot \sqrt{u} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du \] Bước 4: Tính nguyên hàm của \( \sqrt{u} \): \[ \frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \] Bước 5: Quay lại biến \( x \): \[ \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (x^2 + 5)^{\frac{3}{2}} + C \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) = x \cdot \sqrt{x^2 + 5} \) là: \[ F(x) = \frac{1}{3} (x^2 + 5)^{\frac{3}{2}} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( F(x) = \frac{1}{3} (x^2 + 5)^{\frac{3}{2}} \) Đáp án: B. \( F(x) = \frac{1}{3} (x^2 + 5)^{\frac{3}{2}} \) Câu 35: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2\ln x+x}x$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách hàm số thành hai phần dễ dàng tính nguyên hàm hơn. \[ f(x) = \frac{2\ln x + x}{x} = \frac{2\ln x}{x} + \frac{x}{x} = \frac{2\ln x}{x} + 1 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng lẻ. - Nguyên hàm của $\frac{2\ln x}{x}$: \[ \int \frac{2\ln x}{x} \, dx \] Đặt $u = \ln x$, suy ra $du = \frac{1}{x} \, dx$. Do đó: \[ \int \frac{2\ln x}{x} \, dx = 2 \int u \, du = 2 \cdot \frac{u^2}{2} + C_1 = (\ln x)^2 + C_1 \] - Nguyên hàm của $1$: \[ \int 1 \, dx = x + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = (\ln x)^2 + x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là: \[ \boxed{(\ln x)^2 + x + C} \] Do đó, đáp án đúng là: D. $(\ln x)^2 + x + C$ Câu 36: Để tìm nguyên hàm của $\frac{e^x}{e^{2x}-1}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biến đổi và phương pháp tích phân. Ta nhận thấy rằng $e^{2x} - 1$ có thể viết lại thành $(e^x)^2 - 1$, và có dạng giống như công thức phân tích đa thức $a^2 - b^2$. Do đó, ta có thể sử dụng phương pháp phân tích để đơn giản hóa biểu thức này. Bước 2: Thực hiện phép phân tích. \[ e^{2x} - 1 = (e^x)^2 - 1 = (e^x + 1)(e^x - 1) \] Bước 3: Áp dụng phương pháp tích phân. Ta đặt $u = e^x$, do đó $du = e^x dx$. Biểu thức ban đầu trở thành: \[ \int \frac{e^x}{(e^x + 1)(e^x - 1)} dx = \int \frac{du}{(u + 1)(u - 1)} \] Bước 4: Tách phân số phức tạp thành tổng của hai phân số đơn giản hơn. \[ \frac{1}{(u + 1)(u - 1)} = \frac{A}{u + 1} + \frac{B}{u - 1} \] Nhân cả hai vế với $(u + 1)(u - 1)$ để tìm $A$ và $B$: \[ 1 = A(u - 1) + B(u + 1) \] \[ 1 = Au - A + Bu + B \] \[ 1 = (A + B)u + (-A + B) \] So sánh hệ số của $u$ và hằng số: \[ A + B = 0 \] \[ -A + B = 1 \] Giải hệ phương trình này: \[ A + B = 0 \Rightarrow B = -A \] \[ -A + B = 1 \Rightarrow -A - A = 1 \Rightarrow -2A = 1 \Rightarrow A = -\frac{1}{2} \] \[ B = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \frac{1}{(u + 1)(u - 1)} = \frac{-\frac{1}{2}}{u + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{u - 1} \] Bước 5: Tích phân từng phần. \[ \int \left( \frac{-\frac{1}{2}}{u + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{u - 1} \right) du = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u + 1} du + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u - 1} du \] Tích phân từng phần: \[ -\frac{1}{2} \ln |u + 1| + \frac{1}{2} \ln |u - 1| + C \] Bước 6: Thay lại $u = e^x$. \[ -\frac{1}{2} \ln |e^x + 1| + \frac{1}{2} \ln |e^x - 1| + C \] Bước 7: Gộp lại thành một biểu thức duy nhất. \[ \frac{1}{2} (\ln |e^x - 1| - \ln |e^x + 1|) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right| + C \] Vậy, đáp án đúng là: D. $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right| + C$ Câu 37: Để tìm giá trị của $F^2(e)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm $y = \sqrt{\ln^2 x + 1} \cdot \frac{\ln x}{x}$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = \sqrt{\ln^2 x + 1} \cdot \frac{\ln x}{x}$. Chúng ta thực hiện phép thay đổi biến số: - Đặt $u = \ln x$, suy ra $du = \frac{1}{x} dx$. Khi đó, hàm số trở thành: \[ y = \sqrt{u^2 + 1} \cdot u \cdot du \] Bây giờ, chúng ta cần tìm nguyên hàm của $\sqrt{u^2 + 1} \cdot u$. Ta có: \[ \int \sqrt{u^2 + 1} \cdot u \, du \] Thực hiện phép tích phân từng phần, đặt: - $v = \sqrt{u^2 + 1}$, suy ra $dv = \frac{u}{\sqrt{u^2 + 1}} du$ - $dw = u \, du$, suy ra $w = \frac{u^2}{2}$ Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int v \, dw = vw - \int w \, dv \] Ta có: \[ \int \sqrt{u^2 + 1} \cdot u \, du = \sqrt{u^2 + 1} \cdot \frac{u^2}{2} - \int \frac{u^2}{2} \cdot \frac{u}{\sqrt{u^2 + 1}} \, du \] \[ = \frac{u^2 \sqrt{u^2 + 1}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{u^3}{\sqrt{u^2 + 1}} \, du \] Phép tích phân $\int \frac{u^3}{\sqrt{u^2 + 1}} \, du$ có thể thực hiện bằng cách sử dụng phương pháp thay đổi biến số hoặc tích phân từng phần phức tạp hơn. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể nhận thấy rằng: \[ \int \sqrt{u^2 + 1} \cdot u \, du = \frac{(u^2 + 1)^{3/2}}{3} + C \] Do đó: \[ F(x) = \frac{(\ln^2 x + 1)^{3/2}}{3} + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(1) = \frac{1}{3}$. Khi $x = 1$, ta có $\ln 1 = 0$, do đó: \[ F(1) = \frac{(0^2 + 1)^{3/2}}{3} + C = \frac{1}{3} + C \] Theo điều kiện $F(1) = \frac{1}{3}$, ta có: \[ \frac{1}{3} + C = \frac{1}{3} \] \[ C = 0 \] Vậy, nguyên hàm của hàm số là: \[ F(x) = \frac{(\ln^2 x + 1)^{3/2}}{3} \] Bước 3: Tính giá trị $F(e)$. Khi $x = e$, ta có $\ln e = 1$, do đó: \[ F(e) = \frac{(1^2 + 1)^{3/2}}{3} = \frac{(2)^{3/2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Cuối cùng, tính giá trị $F^2(e)$: \[ F^2(e) = \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)^2 = \frac{8}{9} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{8}{9}} \] Câu 38: Để tìm nguyên hàm của $\frac{1}{\sin x}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\frac{1}{\sin x}$: \[ \int \frac{1}{\sin x} \, dx \] Bước 2: Ta sử dụng phương pháp biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Biến đổi $\frac{1}{\sin x}$ thành dạng khác: \[ \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin^2 x} = \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} \] Bước 3: Đặt $u = \cos x$, suy ra $du = -\sin x \, dx$. Do đó: \[ \int \frac{1}{\sin x} \, dx = \int \frac{-du}{1 - u^2} \] Bước 4: Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{1 - u^2}$ có thể được phân tích thành tổng của hai phân thức: \[ \frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{(1 - u)(1 + u)} \] Sử dụng phương pháp phân tích phần tử riêng rẽ: \[ \frac{1}{(1 - u)(1 + u)} = \frac{A}{1 - u} + \frac{B}{1 + u} \] Tìm $A$ và $B$: \[ 1 = A(1 + u) + B(1 - u) \] Đặt $u = 1$: \[ 1 = A(2) \Rightarrow A = \frac{1}{2} \] Đặt $u = -1$: \[ 1 = B(2) \Rightarrow B = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \frac{1}{(1 - u)(1 + u)} = \frac{1/2}{1 - u} + \frac{1/2}{1 + u} \] Bước 5: Tích phân từng phần tử riêng rẽ: \[ \int \frac{-du}{1 - u^2} = -\frac{1}{2} \left( \int \frac{du}{1 - u} + \int \frac{du}{1 + u} \right) \] \[ = -\frac{1}{2} \left( -\ln|1 - u| + \ln|1 + u| \right) + C \] \[ = \frac{1}{2} \left( \ln|1 - u| - \ln|1 + u| \right) + C \] \[ = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 - u}{1 + u} \right| + C \] Bước 6: Thay lại $u = \cos x$: \[ \int \frac{1}{\sin x} \, dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \right| + C \] Bước 7: Ta nhận thấy rằng $\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \tan^2 \left( \frac{x}{2} \right)$, do đó: \[ \int \frac{1}{\sin x} \, dx = \frac{1}{2} \ln \left| \tan^2 \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C \] \[ = \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right| + C \] Vậy, đáp án đúng là: B. $\ln|\tan\frac{x}{2}| + C$ Đáp số: B. $\ln|\tan\frac{x}{2}| + C$ Câu 39: Để tính $\int \cos x \cdot \sin^3 x \, dx$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi $u = \sin x$. Khi đó, $du = \cos x \, dx$. Bước 2: Thay đổi biến số trong tích phân. $\int \cos x \cdot \sin^3 x \, dx = \int u^3 \, du$ Bước 3: Tính tích phân theo biến số mới. $\int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C$ Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay $u = \sin x$ vào kết quả trên: $\frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C$ Vậy $\int \cos x \cdot \sin^3 x \, dx = \frac{\sin^4 x}{4} + C$. Do đó, đáp án đúng là: B. $\frac{\sin^4 x}{4} + C$ Câu 40: Để tìm nguyên hàm của \( f(x) = x \cos x^2 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến. Bước 1: Đặt \( u = x^2 \). Khi đó, \( du = 2x \, dx \) hoặc \( x \, dx = \frac{1}{2} \, du \). Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \int x \cos x^2 \, dx = \int \cos u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \cos u \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( \cos u \): \[ \frac{1}{2} \int \cos u \, du = \frac{1}{2} \sin u + C \] Bước 4: Quay lại biến ban đầu \( u = x^2 \): \[ \frac{1}{2} \sin u + C = \frac{1}{2} \sin x^2 + C \] Vậy, nguyên hàm của \( f(x) = x \cos x^2 \) là: \[ \frac{1}{2} \sin x^2 + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. $\frac{1}{2} \sin x^2 + C$. Câu 41: Để tìm nguyên hàm của \( f(x) = xe^{-x^2} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến. Bước 1: Xác định u và tính đạo hàm của u. Gọi \( u = -x^2 \). Khi đó, \( du = -2x \, dx \) hoặc \( x \, dx = -\frac{1}{2} \, du \). Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu. \[ f(x) = xe^{-x^2} = e^u \cdot x \, dx = e^u \cdot \left( -\frac{1}{2} \, du \right) = -\frac{1}{2} e^u \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm của biểu thức mới. \[ \int xe^{-x^2} \, dx = \int -\frac{1}{2} e^u \, du = -\frac{1}{2} \int e^u \, du = -\frac{1}{2} e^u + C \] Bước 4: Quay lại biến ban đầu. \[ -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) = xe^{-x^2} \) là: \[ -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( -\frac{1}{2} e^{-x^2} \) Câu 42: Để tính tích phân $\int \frac{2x}{(x^2 + 9)^4} dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương pháp tính tích phân. - Ta nhận thấy rằng phân tử là đạo hàm của mẫu số (hoặc một bội của nó). Do đó, ta có thể sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 2: Thay đổi biến số. - Đặt $u = x^2 + 9$. - Khi đó, $du = 2x \, dx$. Bước 3: Thay vào tích phân. - Tích phân ban đầu trở thành: \[ \int \frac{2x}{(x^2 + 9)^4} dx = \int \frac{du}{u^4}. \] Bước 4: Tính tích phân mới. - Tích phân $\int \frac{du}{u^4}$ là: \[ \int u^{-4} \, du = \frac{u^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3u^3} + C. \] Bước 5: Quay lại biến số ban đầu. - Thay $u = x^2 + 9$ vào kết quả vừa tìm được: \[ -\frac{1}{3(x^2 + 9)^3} + C. \] Vậy đáp án đúng là: D. $-\frac{1}{(x^2 + 9)^3} + C$. Câu 43: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^3 x \cdot \cos x \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = \sin x \). Khi đó, đạo hàm của \( u \) là: \[ du = \cos x \, dx \] Bước 2: Thay đổi biến số trong nguyên hàm. Nguyên hàm ban đầu là: \[ \int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx \] Thay \( u = \sin x \) và \( du = \cos x \, dx \), ta có: \[ \int u^3 \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( u^3 \). \[ \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay \( u = \sin x \) vào kết quả trên, ta có: \[ \frac{\sin^4 x}{4} + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^3 x \cdot \cos x \) là: \[ \frac{1}{4} \sin^4 x + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\frac{1}{4} \sin^4 x + C$. Câu 44: Để tính $\int \sin x \cos 2x \, dx$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi tích thành tổng. Ta có: \[ \sin x \cos 2x = \frac{1}{2} [\sin(3x) + \sin(-x)] = \frac{1}{2} [\sin(3x) - \sin(x)] \] Do đó: \[ \int \sin x \cos 2x \, dx = \int \frac{1}{2} [\sin(3x) - \sin(x)] \, dx \] Tách tích phân: \[ \int \sin x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \left( \int \sin(3x) \, dx - \int \sin(x) \, dx \right) \] Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C_1 \] \[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C_2 \] Gộp lại: \[ \int \sin x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{3} \cos(3x) + \cos(x) \right) + C \] \[ = -\frac{1}{6} \cos(3x) + \frac{1}{2} \cos(x) + C \] Vậy đáp án đúng là: B. $-\frac{1}{6} \cos(3x) + \frac{1}{2} \cos(x) + C$ Đáp số: B. $-\frac{1}{6} \cos(3x) + \frac{1}{2} \cos(x) + C$