Biết F(x) = (a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + cx + d) * e ^ - 1 là một nguyên hàm của f(x) = (- 3x ^ 3 + 9x ^ 2 + 12x - 5) * e ^ (- x) Khi đó a + b + c + d bằng bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị của $a + b + c + d$, chúng ta cần sử dụng tính chất của nguyên hàm và đạo hàm. Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, tức là $F&#x27;(x) = f(x)$.

Bước 1: Tính đạo hàm của $F(x)$:
$$ F(x) = (ax^3 + bx^2 + cx + d)e^{-x} $$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:
$$ F&#x27;(x) = (ax^3 + bx^2 + cx + d)&#x27;e^{-x} + (ax^3 + bx^2 + cx + d)(e^{-x})&#x27; $$
$$ F&#x27;(x) = (3ax^2 + 2bx + c)e^{-x} + (ax^3 + bx^2 + cx + d)(-e^{-x}) $$
$$ F&#x27;(x) = (3ax^2 + 2bx + c)e^{-x} - (ax^3 + bx^2 + cx + d)e^{-x} $$
$$ F&#x27;(x) = e^{-x}[(3ax^2 + 2bx + c) - (ax^3 + bx^2 + cx + d)] $$
$$ F&#x27;(x) = e^{-x}[-ax^3 + (3a - b)x^2 + (2b - c)x + (c - d)] $$

Bước 2: So sánh với $f(x)$:
$$ f(x) = (-3x^3 + 9x^2 + 12x - 5)e^{-x} $$

So sánh hệ số tương ứng của $x^3$, $x^2$, $x$ và hằng số:
$$ -a = -3 \Rightarrow a = 3 $$
$$ 3a - b = 9 \Rightarrow 3(3) - b = 9 \Rightarrow 9 - b = 9 \Rightarrow b = 0 $$
$$ 2b - c = 12 \Rightarrow 2(0) - c = 12 \Rightarrow -c = 12 \Rightarrow c = -12 $$
$$ c - d = -5 \Rightarrow -12 - d = -5 \Rightarrow -d = 7 \Rightarrow d = -7 $$

Bước 3: Tính $a + b + c + d$:
$$ a + b + c + d = 3 + 0 - 12 - 7 = -16 $$

Vậy $a + b + c + d = -16$.