giúp t giải bài với

Câu 67: Để tìm nguyên hàm của \( y = \sin x \cdot \sin 7x \), ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] \] Áp dụng vào bài toán: \[ \sin x \cdot \sin 7x = \frac{1}{2} [\cos(7x - x) - \cos(7x + x)] = \frac{1}{2} [\cos 6x - \cos 8x] \] Do đó, ta cần tìm nguyên hàm của: \[ \int \left( \frac{1}{2} [\cos 6x - \cos 8x] \right) dx \] Ta tính nguyên hàm từng phần: \[ \int \frac{1}{2} \cos 6x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \sin 6x = \frac{\sin 6x}{12} \] \[ \int \frac{1}{2} \cos 8x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \sin 8x = \frac{\sin 8x}{16} \] Vậy nguyên hàm của \( y = \sin x \cdot \sin 7x \) là: \[ F(x) = \frac{\sin 6x}{12} - \frac{\sin 8x}{16} + C \] Để xác định hằng số \( C \), ta sử dụng điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \): \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin 6 \cdot \frac{\pi}{2}}{12} - \frac{\sin 8 \cdot \frac{\pi}{2}}{16} + C = 0 \] \[ \frac{\sin 3\pi}{12} - \frac{\sin 4\pi}{16} + C = 0 \] \[ \frac{0}{12} - \frac{0}{16} + C = 0 \] \[ C = 0 \] Vậy nguyên hàm của \( y = \sin x \cdot \sin 7x \) là: \[ F(x) = \frac{\sin 6x}{12} - \frac{\sin 8x}{16} \] Đáp án đúng là: C. $\frac{\sin 6x}{12} - \frac{\sin 8x}{16}$ Câu 68: Để $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F'(x) = f(x)$. Tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F(x) = \ln(x^2 + 2mx + 4) \] \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 2mx + 4) \right) = \frac{2x + 2m}{x^2 + 2mx + 4} \] Ta có: \[ F'(x) = \frac{2x + 2m}{x^2 + 2mx + 4} \] Để $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, ta cần: \[ \frac{2x + 2m}{x^2 + 2mx + 4} = \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 4} \] So sánh tử số và mẫu số của hai phân thức: \[ 2x + 2m = 2x - 3 \] \[ x^2 + 2mx + 4 = x^2 - 3x + 4 \] Từ phương trình đầu tiên: \[ 2x + 2m = 2x - 3 \] \[ 2m = -3 \] \[ m = -\frac{3}{2} \] Từ phương trình thứ hai: \[ x^2 + 2mx + 4 = x^2 - 3x + 4 \] \[ 2mx = -3x \] \[ 2m = -3 \] \[ m = -\frac{3}{2} \] Vậy giá trị của $m$ là $-\frac{3}{2}$. Đáp án đúng là: B. $-\frac{3}{2}$ Câu 69: Để tính $\int \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển đổi biểu thức trong tích phân: \[ \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} = \frac{1}{(\sin x \cdot \cos x)^2} \] Bước 2: Sử dụng công thức nhân đôi: \[ \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \] Do đó: \[ (\sin x \cdot \cos x)^2 = \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x \] Bước 3: Thay vào tích phân: \[ \int \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} \, dx = \int \frac{1}{\frac{1}{4} \sin^2 2x} \, dx = \int \frac{4}{\sin^2 2x} \, dx = 4 \int \csc^2 2x \, dx \] Bước 4: Tính tích phân của $\csc^2 2x$: \[ \int \csc^2 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cot 2x + C \] Bước 5: Nhân với 4: \[ 4 \int \csc^2 2x \, dx = 4 \left( -\frac{1}{2} \cot 2x + C \right) = -2 \cot 2x + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $-2 \cot 2x + C$ Đáp số: D. $-2 \cot 2x + C$ Câu 70: Để tính $\int (\sin 2x - \cos 2x)^2 dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở rộng biểu thức trong dấu tích phân: \[ (\sin 2x - \cos 2x)^2 = \sin^2 2x - 2 \sin 2x \cos 2x + \cos^2 2x \] Bước 2: Áp dụng công thức Pythagoras $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$: \[ (\sin 2x - \cos 2x)^2 = 1 - 2 \sin 2x \cos 2x \] Bước 3: Áp dụng công thức nhân đôi $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ để viết lại $-2 \sin 2x \cos 2x$: \[ -2 \sin 2x \cos 2x = -\sin 4x \] Do đó, ta có: \[ (\sin 2x - \cos 2x)^2 = 1 - \sin 4x \] Bước 4: Tính tích phân: \[ \int (\sin 2x - \cos 2x)^2 dx = \int (1 - \sin 4x) dx \] Bước 5: Tính từng phần của tích phân: \[ \int 1 dx = x + C_1 \] \[ \int \sin 4x dx = -\frac{1}{4} \cos 4x + C_2 \] Bước 6: Kết hợp các kết quả: \[ \int (1 - \sin 4x) dx = x - \left( -\frac{1}{4} \cos 4x \right) + C = x + \frac{1}{4} \cos 4x + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $x + \frac{1}{4} \cos 4x + C$ Đáp số: D. $x + \frac{1}{4} \cos 4x + C$ Câu 71: Để tính $\int \cos^2 \frac{2x}{3} \, dx$, ta sử dụng công thức hạ bậc cho $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$. Bước 1: Áp dụng công thức hạ bậc: \[ \cos^2 \frac{2x}{3} = \frac{1 + \cos \left(2 \cdot \frac{2x}{3}\right)}{2} = \frac{1 + \cos \frac{4x}{3}}{2} \] Bước 2: Tính tích phân: \[ \int \cos^2 \frac{2x}{3} \, dx = \int \frac{1 + \cos \frac{4x}{3}}{2} \, dx \] Bước 3: Tách tích phân thành hai phần: \[ = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos \frac{4x}{3} \, dx \] Bước 4: Tính từng phần riêng lẻ: \[ = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos \frac{4x}{3} \, dx \] \[ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \int \cos \frac{4x}{3} \, dx \] Bước 5: Tính tích phân của $\cos \frac{4x}{3}$: \[ \int \cos \frac{4x}{3} \, dx = \frac{3}{4} \sin \frac{4x}{3} \] Bước 6: Kết hợp lại: \[ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \sin \frac{4x}{3} + C \] \[ = \frac{x}{2} + \frac{3}{8} \sin \frac{4x}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{x}{2} + \frac{3}{8} \sin \frac{4x}{3} + C$ Đáp số: C. $\frac{x}{2} + \frac{3}{8} \sin \frac{4x}{3} + C$ Câu 72: Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = -\frac{1}{\cos^2 x}$, chúng ta cần nhớ rằng đạo hàm của $\tan x$ là $\frac{1}{\cos^2 x}$. Do đó, nguyên hàm của $-\frac{1}{\cos^2 x}$ sẽ là $-\tan x + C$, trong đó $C$ là hằng số nguyên hàm. Bây giờ, ta cần xác định giá trị của $C$ dựa trên điều kiện ban đầu $F(0) = 1$. 1. Ta có: \[ F(x) = -\tan x + C \] 2. Áp dụng điều kiện $F(0) = 1$: \[ F(0) = -\tan 0 + C = 1 \] \[ 0 + C = 1 \] \[ C = 1 \] Do đó, nguyên hàm của hàm số $y = -\frac{1}{\cos^2 x}$ với điều kiện $F(0) = 1$ là: \[ F(x) = -\tan x + 1 \] Vậy đáp án đúng là: B. $-\tan x + 1$ Đáp số: B. $-\tan x + 1$ Câu 73: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = \ln |\sin x - 3 \cos x| \), ta cần tính đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln |\sin x - 3 \cos x| \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit: \[ \frac{d}{dx} (\ln |u|) = \frac{u'}{u} \] Trong đó, \( u = \sin x - 3 \cos x \). Bước 2: Tính đạo hàm của \( u \): \[ u' = \frac{d}{dx} (\sin x - 3 \cos x) = \cos x + 3 \sin x \] Bước 3: Thay vào công thức đạo hàm của hàm số lôgarit: \[ F'(x) = \frac{\cos x + 3 \sin x}{\sin x - 3 \cos x} \] Vậy, đạo hàm của \( F(x) \) là: \[ F'(x) = \frac{\cos x + 3 \sin x}{\sin x - 3 \cos x} \] Do đó, hàm số \( f(x) = \frac{\cos x + 3 \sin x}{\sin x - 3 \cos x} \) là hàm số mà \( F(x) \) là một nguyên hàm của nó. Đáp án đúng là: A. \( f(x) = \frac{\cos x + 3 \sin x}{\sin x - 3 \cos x} \). Câu 74: Để tìm nguyên hàm của $\int(1+\sin x)^2dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở rộng biểu thức trong dấu tích phân: \[ (1 + \sin x)^2 = 1 + 2\sin x + \sin^2 x \] Bước 2: Viết lại tích phân: \[ \int(1 + \sin x)^2 dx = \int (1 + 2\sin x + \sin^2 x) dx \] Bước 3: Tách tích phân thành các phần riêng lẻ: \[ = \int 1 \, dx + \int 2\sin x \, dx + \int \sin^2 x \, dx \] Bước 4: Tính từng nguyên hàm riêng lẻ: \[ \int 1 \, dx = x + C_1 \] \[ \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C_2 \] Để tính $\int \sin^2 x \, dx$, ta sử dụng công thức hạ bậc: \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] Do đó, \[ \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx \] \[ = \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx - \int \cos 2x \, dx \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C_3 \] \[ = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C_3 \] Bước 5: Kết hợp tất cả các nguyên hàm lại: \[ \int (1 + 2\sin x + \sin^2 x) dx = x - 2\cos x + \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \] \[ = \frac{3x}{2} - 2\cos x - \frac{\sin 2x}{4} + C \] Vậy, nguyên hàm của $\int(1+\sin x)^2dx$ là: \[ \frac{3x}{2} - 2\cos x - \frac{\sin 2x}{4} + C \] Đáp án đúng là: D. $\frac{3x}{2} - 2\cos x - \frac{\sin 2x}{4} + C$. Câu 75: Để tìm giá trị của \( m \) sao cho nguyên hàm \( F(x) \) của \( f(x) = \frac{4m}{\pi} + \sin^2 x \) thỏa mãn \( F(0) = 1 \) và \( F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{8} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( f(x) \). Ta có: \[ f(x) = \frac{4m}{\pi} + \sin^2 x \] Biết rằng: \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] Do đó: \[ f(x) = \frac{4m}{\pi} + \frac{1 - \cos 2x}{2} \] Tính nguyên hàm: \[ F(x) = \int \left( \frac{4m}{\pi} + \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) dx \] \[ F(x) = \int \left( \frac{4m}{\pi} \right) dx + \int \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) dx \] \[ F(x) = \frac{4m}{\pi} x + \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx \] \[ F(x) = \frac{4m}{\pi} x + \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C \] \[ F(x) = \frac{4m}{\pi} x + \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \] Bước 2: Áp dụng điều kiện \( F(0) = 1 \). \[ F(0) = \frac{4m}{\pi} \cdot 0 + \frac{0}{2} - \frac{\sin 0}{4} + C = 1 \] \[ C = 1 \] Bước 3: Áp dụng điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{8} \). \[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{4m}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\frac{\pi}{4}}{2} - \frac{\sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)}{4} + 1 = \frac{\pi}{8} \] \[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = m + \frac{\pi}{8} - \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)}{4} + 1 = \frac{\pi}{8} \] \[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = m + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{\pi}{8} \] \[ m + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{\pi}{8} \] \[ m + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{\pi}{8} \] \[ m + 1 - \frac{1}{4} = 0 \] \[ m + \frac{3}{4} = 0 \] \[ m = -\frac{3}{4} \] Vậy đáp án đúng là: C. \( m = -\frac{3}{4} \) Câu 76: Để tính $\int f(x) \, dx$ với $f(x) = \sin^4 2x$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Biến đổi $\sin^4 2x$ thành dạng dễ tích phân hơn. \[ \sin^4 2x = (\sin^2 2x)^2 = \left(\frac{1 - \cos 4x}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos 4x + \cos^2 4x}{4} \] Bước 2: Biến đổi tiếp $\cos^2 4x$. \[ \cos^2 4x = \frac{1 + \cos 8x}{2} \] Do đó: \[ \sin^4 2x = \frac{1 - 2\cos 4x + \frac{1 + \cos 8x}{2}}{4} = \frac{1 - 2\cos 4x + \frac{1}{2} + \frac{\cos 8x}{2}}{4} = \frac{1 - 2\cos 4x + \frac{1}{2} + \frac{\cos 8x}{2}}{4} = \frac{3/2 - 2\cos 4x + \frac{\cos 8x}{2}}{4} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 4x + \frac{1}{8}\cos 8x \] Bước 3: Tích phân từng thành phần. \[ \int \sin^4 2x \, dx = \int \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 4x + \frac{1}{8}\cos 8x \right) \, dx \] \[ = \frac{3}{8} \int dx - \frac{1}{2} \int \cos 4x \, dx + \frac{1}{8} \int \cos 8x \, dx \] \[ = \frac{3}{8}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \sin 4x + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} \sin 8x + C \] \[ = \frac{3}{8}x - \frac{1}{8} \sin 4x + \frac{1}{64} \sin 8x + C \] Bước 4: Kết luận. \[ \int f(x) \, dx = \frac{1}{8}(3x - \sin 4x + \frac{1}{8} \sin 8x) + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $\int f(x) \, dx = \frac{1}{8}(3x - \sin 4x + \frac{1}{8} \sin 8x) + C$ Đáp án: D. $\int f(x) \, dx = \frac{1}{8}(3x - \sin 4x + \frac{1}{8} \sin 8x) + C$