Câu 2. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = mx -3x* + 4m 5 + x3 2x - 7m (m là tham số).

Câu 2. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = mx - 3x^4 + 4m + \frac{5}{x^3} + \frac{2}{x} - 7m \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong hàm số này. Bước 1: Tách hàm số thành các thành phần riêng lẻ: \[ f(x) = mx - 3x^4 + 4m + \frac{5}{x^3} + \frac{2}{x} - 7m \] Bước 2: Tìm nguyên hàm từng thành phần: - Nguyên hàm của \( mx \): \[ \int mx \, dx = m \int x \, dx = m \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{mx^2}{2} \] - Nguyên hàm của \( -3x^4 \): \[ \int -3x^4 \, dx = -3 \int x^4 \, dx = -3 \cdot \frac{x^5}{5} = -\frac{3x^5}{5} \] - Nguyên hàm của hằng số \( 4m - 7m \): \[ \int (4m - 7m) \, dx = \int (-3m) \, dx = -3mx \] - Nguyên hàm của \( \frac{5}{x^3} \): \[ \int \frac{5}{x^3} \, dx = 5 \int x^{-3} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{5}{2x^2} \] - Nguyên hàm của \( \frac{2}{x} \): \[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx = 2 \ln |x| \] Bước 3: Kết hợp tất cả các nguyên hàm lại: \[ F(x) = \frac{mx^2}{2} - \frac{3x^5}{5} - 3mx - \frac{5}{2x^2} + 2 \ln |x| + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = mx - 3x^4 + 4m + \frac{5}{x^3} + \frac{2}{x} - 7m \) là: \[ F(x) = \frac{mx^2}{2} - \frac{3x^5}{5} - 3mx - \frac{5}{2x^2} + 2 \ln |x| + C \] Câu 1. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + 3^x + 3x - 2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định từng thành phần của hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + 3^x + 3x - 2 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ. - Nguyên hàm của \( \frac{2}{\sqrt{x}} \): \[ \int \frac{2}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 4 \sqrt{x} \] - Nguyên hàm của \( 3^x \): \[ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln(3)} \] - Nguyên hàm của \( 3x \): \[ \int 3x \, dx = 3 \int x \, dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2} \] - Nguyên hàm của \( -2 \): \[ \int -2 \, dx = -2x \] Bước 3: Gộp tất cả các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ F(x) = 4 \sqrt{x} + \frac{3^x}{\ln(3)} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + 3^x + 3x - 2 \) là: \[ F(x) = 4 \sqrt{x} + \frac{3^x}{\ln(3)} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C \] Câu 2. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = mx^3 - 3x^2 + \frac{4m}{x^3} + \frac{5}{2x} - 7m \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định từng thành phần của hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = mx^3 - 3x^2 + \frac{4m}{x^3} + \frac{5}{2x} - 7m \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ. - Nguyên hàm của \( mx^3 \): \[ \int mx^3 \, dx = m \int x^3 \, dx = m \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{mx^4}{4} \] - Nguyên hàm của \( -3x^2 \): \[ \int -3x^2 \, dx = -3 \int x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3 \] - Nguyên hàm của \( \frac{4m}{x^3} \): \[ \int \frac{4m}{x^3} \, dx = 4m \int x^{-3} \, dx = 4m \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{2m}{x^2} \] - Nguyên hàm của \( \frac{5}{2x} \): \[ \int \frac{5}{2x} \, dx = \frac{5}{2} \int \frac{1}{x} \, dx = \frac{5}{2} \ln |x| \] - Nguyên hàm của \( -7m \): \[ \int -7m \, dx = -7m \int 1 \, dx = -7mx \] Bước 3: Gộp tất cả các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ F(x) = \frac{mx^4}{4} - x^3 - \frac{2m}{x^2} + \frac{5}{2} \ln |x| - 7mx + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) là: \[ F(x) = \frac{mx^4}{4} - x^3 - \frac{2m}{x^2} + \frac{5}{2} \ln |x| - 7mx + C \] Câu 3. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thành phần của hàm số: \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} \] Bước 2: Viết lại các thành phần dưới dạng lũy thừa: \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \] \[ \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 2x^{-\frac{1}{3}} \] Do đó, hàm số có thể viết lại là: \[ f(x) = x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{3}} \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ: - Nguyên hàm của \( x^{-\frac{1}{2}} \): \[ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\left(-\frac{1}{2} + 1\right)}}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x} \] - Nguyên hàm của \( 2x^{-\frac{1}{3}} \): \[ \int 2x^{-\frac{1}{3}} \, dx = 2 \int x^{-\frac{1}{3}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\left(-\frac{1}{3} + 1\right)}}{-\frac{1}{3} + 1} = 2 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} = 3x^{\frac{2}{3}} \] Bước 4: Kết hợp các nguyên hàm đã tìm được: \[ F(x) = 2\sqrt{x} - 3x^{\frac{2}{3}} + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} \) là: \[ F(x) = 2\sqrt{x} - 3x^{\frac{2}{3}} + C \]