giải câu này ạ $(P):~3x-y+z-25=0.$ $(d):\frac{x-1}1=\frac y2=\frac{z+2}1$ và mặt phẳng,Một đường thẳng (d') cắt trục Oz tại điểm M, cắt đường thẳng,(d) tại điểm N và (d') song song với mặt phẳng (P). Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng MN,bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm),$\rightarrow$ Đáp số: .....

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình của đường thẳng (d'):
   - Đường thẳng (d') cắt trục Oz tại điểm M(0, 0, z_M) và cắt đường thẳng (d) tại điểm N.
   - Đường thẳng (d') song song với mặt phẳng (P).

2. Tìm tọa độ của điểm N trên đường thẳng (d):
   - Đường thẳng (d) có phương trình tham số: 
     $$
     \begin{cases}
     x = 1 + t \
     y = 2t \
     z = -2 + t
     \end{cases}
     $$
   - Gọi tọa độ của điểm N là (1 + t, 2t, -2 + t).

3. Tìm điều kiện để đường thẳng (d') song song với mặt phẳng (P):
   - Mặt phẳng (P) có phương trình: 3x - y + z - 25 = 0.
   - Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (3, -1, 1)$.
   - Đường thẳng (d') song song với mặt phẳng (P) nếu vector chỉ phương của (d') vuông góc với $\vec{n}$.

4. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng (d'):
   - Đường thẳng (d') đi qua điểm M(0, 0, z_M) và điểm N(1 + t, 2t, -2 + t).
   - Vector chỉ phương của (d') là $\vec{u'} = (1 + t, 2t, -2 + t - z_M)$.

5. Điều kiện vuông góc:
   - $\vec{u'} \cdot \vec{n} = 0$:
     $$
     (1 + t) \cdot 3 + 2t \cdot (-1) + (-2 + t - z_M) \cdot 1 = 0
     $$
     $$
     3 + 3t - 2t - 2 + t - z_M = 0
     $$
     $$
     2t + 1 - z_M = 0
     $$
     $$
     z_M = 2t + 1
     $$

6. Tìm tọa độ của điểm M:
   - Điểm M nằm trên trục Oz, do đó tọa độ của M là (0, 0, 2t + 1).

7. Tính độ dài đoạn thẳng MN:
   - Tọa độ của điểm N là (1 + t, 2t, -2 + t).
   - Tọa độ của điểm M là (0, 0, 2t + 1).
   - Độ dài đoạn thẳng MN:
     $$
     MN = \sqrt{(1 + t - 0)^2 + (2t - 0)^2 + (-2 + t - (2t + 1))^2}
     $$
     $$
     MN = \sqrt{(1 + t)^2 + (2t)^2 + (-2 + t - 2t - 1)^2}
     $$
     $$
     MN = \sqrt{(1 + t)^2 + (2t)^2 + (-3 - t)^2}
     $$
     $$
     MN = \sqrt{(1 + t)^2 + 4t^2 + (3 + t)^2}
     $$
     $$
     MN = \sqrt{1 + 2t + t^2 + 4t^2 + 9 + 6t + t^2}
     $$
     $$
     MN = \sqrt{6t^2 + 8t + 10}
     $$

8. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN:
   - Để tìm giá trị nhỏ nhất của $MN = \sqrt{6t^2 + 8t + 10}$, ta tìm giá trị nhỏ nhất của $f(t) = 6t^2 + 8t + 10$.
   - Đạo hàm của f(t):
     $$
     f'(t) = 12t + 8
     $$
   - Đặt f'(t) = 0:
     $$
     12t + 8 = 0
     $$
     $$
     t = -\frac{2}{3}
     $$
   - Thay t = -\frac{2}{3} vào f(t):
     $$
     f\left(-\frac{2}{3}\right) = 6\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 8\left(-\frac{2}{3}\right) + 10
     $$
     $$
     f\left(-\frac{2}{3}\right) = 6 \cdot \frac{4}{9} - \frac{16}{3} + 10
     $$
     $$
     f\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{24}{9} - \frac{48}{9} + \frac{90}{9}
     $$
     $$
     f\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{66}{9} = \frac{22}{3}
     $$
   - Do đó, giá trị nhỏ nhất của $MN$ là:
     $$
     MN = \sqrt{\frac{22}{3}} \approx 2.74
     $$

Đáp số: 2.74