Câu 1:
Để tìm nguyên hàm của hàm số , chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ cơ bản.
Công thức nguyên hàm của hàm số là:
Trong đó, là hằng số dương khác 1 và là lôgarit tự nhiên của .
Áp dụng công thức này vào hàm số :
1. Xác định .
2. Tính .
Do đó, nguyên hàm của là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 2:
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường , , và quanh trục Ox được tính bằng công thức:
Trong đó, , và .
Áp dụng công thức trên, ta có:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 3:
Trước tiên, chúng ta cần xác định tổng số học sinh trong mẫu số liệu:
Vì số lượng học sinh là 110, là một số chẵn, nên trung vị sẽ nằm giữa hai giá trị ở vị trí thứ 55 và 56.
Bây giờ, chúng ta sẽ xác định khoảng chứa trung vị bằng cách tính tổng số học sinh từ dưới lên:
- Khoảng [0; 20): 25 học sinh
- Khoảng [20; 40): 25 + 35 = 60 học sinh
Như vậy, đến khoảng [20; 40) đã bao gồm 60 học sinh, đủ để chứa cả hai giá trị ở vị trí thứ 55 và 56.
Do đó, trung vị của mẫu số liệu này thuộc khoảng [20; 40).
Đáp án đúng là:
Câu 4:
Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm và là:
2. Lập phương trình đường thẳng:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có dạng:
Do đó, phương trình của đường thẳng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 5:
Để xác định hàm số nào có đường thẳng làm đường tiệm cận đứng, ta cần kiểm tra giới hạn của mỗi hàm số khi tiến đến 1 từ cả hai phía trái và phải.
A.
Ta tính giới hạn:
Khi tiến đến 1, tử số tiến đến 1, nhưng mẫu số tiến đến 0. Do đó, giới hạn này sẽ là vô cùng:
Vậy hàm số có đường thẳng làm đường tiệm cận đứng.
B.
Ta tính giới hạn:
Khi tiến đến 1, tử số tiến đến 0, mẫu số cũng tiến đến -1. Do đó, giới hạn này là hữu hạn:
Vậy hàm số không có đường thẳng làm đường tiệm cận đứng.
C.
Ta tính giới hạn:
Khi tiến đến 1, tiến đến 1 và tiến đến . Do đó, giới hạn này là hữu hạn:
Vậy hàm số không có đường thẳng làm đường tiệm cận đứng.
D.
Ta tính giới hạn:
Khi tiến đến 1, mẫu số tiến đến 3. Do đó, giới hạn này là hữu hạn:
Vậy hàm số không có đường thẳng làm đường tiệm cận đứng.
Kết luận: Hàm số có đường thẳng làm đường tiệm cận đứng là:
Câu 6:
Để giải bất phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với , ta cần .
- Giải bất phương trình :
Do đó, ĐKXĐ là .
2. Giải phương trình :
- Ta có . Điều này tương đương với:
3. Kiểm tra điều kiện xác định:
- Kiểm tra :
- Kiểm tra :
4. Kết luận tập nghiệm:
- Cả hai giá trị và đều thỏa mãn ĐKXĐ và phương trình ban đầu.
- Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 7:
Để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , ta cần tìm vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của biến trong phương trình mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Từ phương trình này, ta thấy các hệ số của , , và lần lượt là 1, -2, và 1. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ có dạng:
So sánh với các lựa chọn đã cho:
Ta thấy rằng vectơ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 8:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của hình chóp và hình chữ nhật.
1. Xác định các tính chất cơ bản:
- Đáy ABCD là hình chữ nhật, do đó CD vuông góc với AD và AB.
- SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tức là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD).
2. Kiểm tra từng mặt phẳng:
- Mặt phẳng (SAB):
+ CD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AB.
+ SA vuông góc với (ABCD), do đó SA vuông góc với CD.
+ Vì CD vuông góc với cả AB và SA, nên CD vuông góc với mặt phẳng (SAB).
- Mặt phẳng (SBC):
+ CD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với BC.
+ SA vuông góc với (ABCD), do đó SA vuông góc với CD.
+ Tuy nhiên, CD không vuông góc với SB vì SB không nằm trong mặt phẳng (ABCD).
- Mặt phẳng (SAC):
+ CD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.
+ SA vuông góc với (ABCD), do đó SA vuông góc với CD.
+ Tuy nhiên, CD không vuông góc với SC vì SC không nằm trong mặt phẳng (ABCD).
- Mặt phẳng (SAD):
+ CD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AD.
+ SA vuông góc với (ABCD), do đó SA vuông góc với CD.
+ Tuy nhiên, CD không vuông góc với SD vì SD không nằm trong mặt phẳng (ABCD).
3. Kết luận:
- Chỉ có mặt phẳng (SAB) là thỏa mãn điều kiện CD vuông góc với nó.
Vậy đáp án đúng là:
Câu 9:
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với phương trình logarit , ta cần đảm bảo rằng .
2. Giải phương trình:
- Phương trình có nghĩa là .
- Ta tính .
3. Kiểm tra điều kiện xác định:
- Kết quả thỏa mãn điều kiện .
Vậy nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là: .
Câu 10:
Cấp số cộng có . Ta cần tìm công sai của cấp số cộng này.
Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số cộng, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng với công sai . Do đó, ta có:
Thay các giá trị đã biết vào phương trình trên:
Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm :
Vậy công sai của cấp số cộng là 4.
Đáp án đúng là: D. 4.