giải toán 12

Bài 1: Để khảo sát và vẽ đồ thị của một hàm số cơ bản, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau đây: 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm của hàm số và tìm các điểm cực trị. 3. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. 4. Tìm giới hạn của hàm số tại các điểm biên của tập xác định. 5. Tìm tiệm cận (nếu có). 6. Lập bảng biến thiên. 7. Vẽ đồ thị của hàm số. Chúng ta sẽ áp dụng các bước này cho một số hàm số cơ bản. Hàm số đa thức bậc ba: $$ Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số đa thức bậc ba có tập xác định là $$. Bước 2: Tính đạo hàm và tìm các điểm cực trị Đạo hàm của hàm số: $$ Giải phương trình $$: $$ Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $$ Bước 3: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - Nếu $$ thì hàm số đồng biến. - Nếu $$ thì hàm số nghịch biến. Bước 4: Tìm giới hạn của hàm số tại các điểm biên của tập xác định $$ Bước 5: Tìm tiệm cận Hàm số đa thức bậc ba không có tiệm cận. Bước 6: Lập bảng biến thiên Dựa vào các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến để lập bảng biến thiên. Bước 7: Vẽ đồ thị của hàm số Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt để vẽ đồ thị. Hàm số lũy thừa: $$ (với $$ là số nguyên dương) Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số lũy thừa có tập xác định là $$. Bước 2: Tính đạo hàm và tìm các điểm cực trị Đạo hàm của hàm số: $$ Giải phương trình $$: $$ $$ Bước 3: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - Nếu $$ là số chẵn, hàm số đồng biến trên $$ và nghịch biến trên $$. - Nếu $$ là số lẻ, hàm số đồng biến trên $$. Bước 4: Tìm giới hạn của hàm số tại các điểm biên của tập xác định $$ Bước 5: Tìm tiệm cận Hàm số lũy thừa không có tiệm cận. Bước 6: Lập bảng biến thiên Dựa vào các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến để lập bảng biến thiên. Bước 7: Vẽ đồ thị của hàm số Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt để vẽ đồ thị. Hàm số mũ: $$ (với $$ và $$) Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số mũ có tập xác định là $$. Bước 2: Tính đạo hàm và tìm các điểm cực trị Đạo hàm của hàm số: $$ Giải phương trình $$: $$ $$ $$ (không thỏa mãn vì $$) Bước 3: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - Nếu $$, hàm số đồng biến trên $$. - Nếu $$, hàm số nghịch biến trên $$. Bước 4: Tìm giới hạn của hàm số tại các điểm biên của tập xác định $$ Bước 5: Tìm tiệm cận - Tiệm cận ngang: $$ khi $$. Bước 6: Lập bảng biến thiên Dựa vào khoảng đồng biến, nghịch biến để lập bảng biến thiên. Bước 7: Vẽ đồ thị của hàm số Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt để vẽ đồ thị. Hàm số logarit: $$ (với $$ và $$) Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số logarit có tập xác định là $$. Bước 2: Tính đạo hàm và tìm các điểm cực trị Đạo hàm của hàm số: $$ Giải phương trình $$: $$ Không có nghiệm. Bước 3: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - Nếu $$, hàm số đồng biến trên $$. - Nếu $$, hàm số nghịch biến trên $$. Bước 4: Tìm giới hạn của hàm số tại các điểm biên của tập xác định $$ $$ Bước 5: Tìm tiệm cận - Tiệm cận đứng: $$. Bước 6: Lập bảng biến thiên Dựa vào khoảng đồng biến, nghịch biến để lập bảng biến thiên. Bước 7: Vẽ đồ thị của hàm số Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt để vẽ đồ thị. Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số cơ bản. Câu 16: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm đạo hàm của hàm số $$ và xác định dấu của đạo hàm này. Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi $$. Bước 2: Tính đạo hàm Ta có: $$ Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: $$ Bước 3: Xét dấu của $$ - Vì $$ với mọi $$, nên dấu của $$ phụ thuộc vào dấu của $$. - Nếu $$, thì $$, do đó $$ với mọi $$. - Nếu $$, thì $$, do đó $$ với mọi $$. Bước 4: Kết luận Dựa vào đồ thị đã cho, ta thấy đồ thị có dạng của hàm số nghịch biến, do đó $$. Vậy mệnh đề đúng là: $$ Câu 17: Để xác định hàm số nào tương ứng với đồ thị đã cho, ta cần phân tích các đặc điểm của đồ thị và so sánh với các hàm số đã cho. Bước 1: Xác định tiệm cận đứng - Đồ thị có tiệm cận đứng tại $$. Bước 2: Xác định tiệm cận ngang - Đồ thị có tiệm cận ngang tại $$. Bước 3: So sánh với các hàm số đã cho 1. Hàm số $$: - Tiệm cận đứng: $$. - Tiệm cận ngang: $$. - Không phù hợp vì tiệm cận đứng không khớp. 2. Hàm số $$: - Tiệm cận đứng: $$. - Tiệm cận ngang: $$. - Không phù hợp vì tiệm cận ngang không khớp. 3. Hàm số $$: - Tiệm cận đứng: $$. - Tiệm cận ngang: $$. - Phù hợp với cả hai tiệm cận. 4. Hàm số $$: - Tiệm cận đứng: $$. - Tiệm cận ngang: $$. - Cũng phù hợp với cả hai tiệm cận. Bước 4: Kiểm tra thêm - Để phân biệt giữa $$ và $$, ta cần kiểm tra thêm một điểm trên đồ thị. Ví dụ, khi $$: - Với $$: $$. - Với $$: $$. - Trên đồ thị, khi $$, $$, do đó hàm số đúng là $$. Vậy, hàm số tương ứng với đồ thị là $$. Câu 18: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số $$. Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi $$. Bước 2: Xác định tiệm cận - Tiệm cận đứng: $$ (vì mẫu số bằng 0 khi $$). - Tiệm cận ngang: Xét giới hạn khi $$, ta có: $$ Vậy tiệm cận ngang là $$. Bước 3: Phân tích đồ thị - Đồ thị có tiệm cận đứng tại $$ và tiệm cận ngang tại $$. - Quan sát đồ thị, ta thấy phần bên phải của tiệm cận đứng đi từ trên xuống dưới, và phần bên trái đi từ dưới lên trên. Điều này cho thấy $$. Bước 4: Xét giao điểm với trục tung - Khi $$, $$. - Quan sát đồ thị, điểm giao với trục tung có tung độ âm, do đó $$. Kết luận Từ các phân tích trên, ta có $$. Vậy khẳng định đúng là $$.> 0\) khi $$ và $$. - $$ khi $$ và $$. - $$ tại $$ và $$. 3. Giá trị của hàm số $$: - Hàm số đạt giá trị cực đại $$. - Hàm số đạt giá trị cực tiểu $$. 4. Phân tích các đáp án: - $$ - $$ - $$ - $$ 5. Kiểm tra từng đáp án: - Đáp án $$ có mẫu số $$, phù hợp với ĐKXĐ. - Tính đạo hàm của $$: $$ Đạo hàm: $$ $$ $$ - $$ khi $$. Tuy nhiên, để khớp với bảng biến thiên, ta cần kiểm tra lại các giá trị cụ thể và dấu của đạo hàm. Sau khi kiểm tra kỹ, đáp án $$ là phù hợp nhất với bảng biến thiên đã cho. Vậy hàm số phù hợp với bảng biến thiên là $$.