giải chi tiết PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m dể hàm số $y=\frac13x^3-mx^2+4x+2$ đồng biến trên,tập xác định của nó?,Câu 2. Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5m / s.Trong,Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho,bởi công thức $h(t)=2+24,5t-4,9t^2.$ Hỏi tại thời điếm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?,Câu 3. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phảm mới (trong vòng một số năm nhất,định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f(t)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\geq0,$ trong đó thời gian,t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^\prime(t)$ sẽ biểu thị tốc độ,bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất (quy tròn đến hàng,phần trăm)?,Câu 4. Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi,Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm $t=0(s)$ cho đến,khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t=126(s).$ Cho bởi hàm số sau:,$v(t)=0,001302t^3-0,09029t^2+23,$ (v được tính bằng $ft/s,1feet=0,3048m).$ (Nguồn: J. Stewart,,Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012).,,Gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian $(a;b)$ đơn vị (giây) tính từ thời điểm cất cánh,cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi.Tính a+b (quy tròn đến hàng đơn vị) ?,Câu 5. Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.,Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức:,$N(t)=1000+\frac{100t}{100+t^2},$ trong đó t là thời gian tính bằng giây $(t\geq0)$ (Nguồn: R. Larson and B.,Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Kể từ lúc nuôi cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng số,lượng vi khuẩn sẽ tăng lên trong khoảng thời gian từ a đến b (giây) . Tính $a-b?$,Câu 6. Một cửa hàng ước tính số lượng sản phẩm $q~(0\leq q\leq100)$ bán được phụ thuộc vào giá bán p,(tính bằng nghìn đồng) theo công thức $p+2q=300.$ Chi phí cửa hàng cần chỉ để nhập về q sản phẩm,là $C(q)=0,05q^3-5,7q^2+295q+300$ (nghìn đồng). Tìm số lượng sản phẩm q bán được để cửa hàng,có lợi nhuận nhiều nhất.,----- HẾT -----

Question

giải chi tiết PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m dể hàm số $y=\frac13x^3-mx^2+4x+2$ đồng biến trên,tập xác định của nó?,Câu 2. Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5m / s.Trong,Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho,bởi công thức $h(t)=2+24,5t-4,9t^2.$ Hỏi tại thời điếm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?,Câu 3. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phảm mới (trong vòng một số năm nhất,định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f(t)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\geq0,$ trong đó thời gian,t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^\prime(t)$ sẽ biểu thị tốc độ,bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất (quy tròn đến hàng,phần trăm)?,Câu 4. Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi,Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm $t=0(s)$ cho đến,khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t=126(s).$ Cho bởi hàm số sau:,$v(t)=0,001302t^3-0,09029t^2+23,$ (v được tính bằng $ft/s,1feet=0,3048m).$ (Nguồn: J. Stewart,,Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/88fe4462dd354a10a8d2e636962a212d.jpg />,Gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian $(a;b)$ đơn vị (giây) tính từ thời điểm cất cánh,cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi.Tính a+b (quy tròn đến hàng đơn vị) ?,Câu 5. Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.,Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức:,$N(t)=1000+\frac{100t}{100+t^2},$ trong đó t là thời gian tính bằng giây $(t\geq0)$ (Nguồn: R. Larson and B.,Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Kể từ lúc nuôi cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng số,lượng vi khuẩn sẽ tăng lên trong khoảng thời gian từ a đến b (giây) . Tính $a-b?$,Câu 6. Một cửa hàng ước tính số lượng sản phẩm $q~(0\leq q\leq100)$ bán được phụ thuộc vào giá bán p,(tính bằng nghìn đồng) theo công thức $p+2q=300.$ Chi phí cửa hàng cần chỉ để nhập về q sản phẩm,là $C(q)=0,05q^3-5,7q^2+295q+300$ (nghìn đồng). Tìm số lượng sản phẩm q bán được để cửa hàng,có lợi nhuận nhiều nhất.,----- HẾT -----

Accepted Answer

Câu 1: Để hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + 4x + 2 $ đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó, đạo hàm của hàm số phải không âm trên toàn bộ miền xác định. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = x^2 - 2mx + 4 $$ Bước 2: Để hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định, ta yêu cầu $ y' \geq 0 $ với mọi $ x $. Điều này xảy ra khi đồ thị của $ y' $ nằm hoàn toàn phía trên hoặc tiếp xúc trục hoành. Bước 3: Xét dấu của $ y' $: $$ y' = x^2 - 2mx + 4 $$ Đây là một đa thức bậc hai với hệ số $ a = 1 > 0 $, do đó đồ thị của nó là một parabol mở lên. Bước 4: Hàm số $ y' $ sẽ không âm nếu $ y' $ không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi biệt số $ \Delta \leq 0 $. Tính biệt số $ \Delta $: $$ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4m^2 - 16 $$ Yêu cầu $ \Delta \leq 0 $: $$ 4m^2 - 16 \leq 0 $$ $$ 4m^2 \leq 16 $$ $$ m^2 \leq 4 $$ $$ -2 \leq m \leq 2 $$ Bước 5: Các giá trị nguyên của $ m $ trong khoảng $[-2, 2]$ là: $$ m = -2, -1, 0, 1, 2 $$ Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số $ m $ để hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + 4x + 2 $ đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. Câu 2: Để tìm thời điểm mà vật đạt độ cao lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2 $. Bước 1: Tìm đạo hàm của $ h(t) $: $$ h'(t) = 24,5 - 9,8t $$ Bước 2: Đặt $ h'(t) = 0 $ để tìm các điểm dừng: $$ 24,5 - 9,8t = 0 $$ $$ 9,8t = 24,5 $$ $$ t = \frac{24,5}{9,8} $$ $$ t = 2,5 $$ Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định tính chất của điểm dừng: - Khi $ t < 2,5 $, $ h'(t) > 0 $ (hàm số tăng). - Khi $ t > 2,5 $, $ h'(t) < 0 $ (hàm số giảm). Do đó, tại $ t = 2,5 $ giây, hàm số $ h(t) $ đạt giá trị lớn nhất. Vậy, vật đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm $ t = 2,5 $ giây. Câu 3: Để tìm thời điểm $ t $ mà tốc độ bán hàng $ f'(t) $ là lớn nhất, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm $ f'(t) $ của hàm số $ f(t) = \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} $. 2. Tìm đạo hàm bậc hai $ f''(t) $ để xác định điểm cực đại của $ f'(t) $. 3. Giải phương trình $ f''(t) = 0 $ để tìm giá trị $ t $ mà tại đó $ f'(t) $ đạt cực đại. Bước 1: Tính đạo hàm $ f'(t) $. $$ f(t) = \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} $$ Sử dụng quy tắc thương số để tìm đạo hàm: $$ f'(t) = \frac{(5000)'(1 + 5e^{-t}) - 5000(1 + 5e^{-t})'}{(1 + 5e^{-t})^2} $$ $$ f'(t) = \frac{0 \cdot (1 + 5e^{-t}) - 5000 \cdot (-5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^2} $$ $$ f'(t) = \frac{25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} $$ Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai $ f''(t) $. $$ f'(t) = \frac{25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} $$ Sử dụng quy tắc thương số để tìm đạo hàm bậc hai: $$ f''(t) = \frac{(25000e^{-t})' \cdot (1 + 5e^{-t})^2 - 25000e^{-t} \cdot [(1 + 5e^{-t})^2]'}{(1 + 5e^{-t})^4} $$ $$ f''(t) = \frac{-25000e^{-t} \cdot (1 + 5e^{-t})^2 - 25000e^{-t} \cdot 2(1 + 5e^{-t})(-5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4} $$ $$ f''(t) = \frac{-25000e^{-t}(1 + 5e^{-t})^2 + 250000e^{-2t}(1 + 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4} $$ $$ f''(t) = \frac{-25000e^{-t}(1 + 5e^{-t}) + 250000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3} $$ $$ f''(t) = \frac{-25000e^{-t} - 125000e^{-2t} + 250000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3} $$ $$ f''(t) = \frac{-25000e^{-t} + 125000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3} $$ Bước 3: Giải phương trình $ f''(t) = 0 $. $$ -25000e^{-t} + 125000e^{-2t} = 0 $$ $$ -25000e^{-t} = -125000e^{-2t} $$ $$ e^{-t} = 5e^{-2t} $$ $$ e^{t} = 5 $$ $$ t = \ln(5) \approx 1.61 \text{ năm} $$ Vậy, sau khoảng 1.61 năm (quy tròn đến hàng phần trăm) thì tốc độ bán hàng là lớn nhất. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm khoảng thời gian mà gia tốc của tàu con thoi tăng. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. 1. Tính gia tốc: Gia tốc $ a(t) $ là đạo hàm của hàm vận tốc $ v(t) $. $$ v(t) = 0{,}001302t^3 - 0{,}09029t^2 + 23 $$ Đạo hàm của $ v(t) $ là: $$ a(t) = v'(t) = 3 \times 0{,}001302t^2 - 2 \times 0{,}09029t $$ $$ a(t) = 0{,}003906t^2 - 0{,}18058t $$ 2. Tìm khoảng thời gian gia tốc tăng: Gia tốc tăng khi đạo hàm của $ a(t) $, tức là $ a'(t) $, dương. $$ a'(t) = \frac{d}{dt}(0{,}003906t^2 - 0{,}18058t) = 2 \times 0{,}003906t - 0{,}18058 $$ $$ a'(t) = 0{,}007812t - 0{,}18058 $$ Để $ a'(t) > 0 $: $$ 0{,}007812t - 0{,}18058 > 0 $$ $$ 0{,}007812t > 0{,}18058 $$ $$ t > \frac{0{,}18058}{0{,}007812} \approx 23{,}1 $$ 3. Khoảng thời gian gia tốc tăng: Gia tốc tăng trong khoảng $ (23{,}1; 126) $. 4. Tính tổng $ a + b $: $ a = 23{,}1 $ và $ b = 126 $. $$ a + b = 23{,}1 + 126 = 149{,}1 $$ Quy tròn đến hàng đơn vị, ta có $ a + b = 149 $. Vậy, tổng $ a + b $ là 149. Câu 5: Để xác định khoảng thời gian từ $ a $ đến $ b $ (giây) mà số lượng vi khuẩn tăng lên, chúng ta cần tìm khoảng thời gian mà đạo hàm của $ N(t) $ dương. Công thức số lượng vi khuẩn: $$ N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^2} $$ Bước 1: Tìm đạo hàm của $ N(t) $: $$ N'(t) = \frac{d}{dt} \left( 1000 + \frac{100t}{100 + t^2} \right) $$ $$ N'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{100t}{100 + t^2} \right) $$ Sử dụng quy tắc thương số để tìm đạo hàm: $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ Trong đó: $$ u = 100t \quad \text{và} \quad v = 100 + t^2 $$ $$ u' = 100 \quad \text{và} \quad v' = 2t $$ Do đó: $$ N'(t) = \frac{(100)(100 + t^2) - (100t)(2t)}{(100 + t^2)^2} $$ $$ N'(t) = \frac{10000 + 100t^2 - 200t^2}{(100 + t^2)^2} $$ $$ N'(t) = \frac{10000 - 100t^2}{(100 + t^2)^2} $$ $$ N'(t) = \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} $$ Bước 2: Xác định khoảng thời gian mà $ N'(t) > 0 $: $$ \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} > 0 $$ Phân tử $ 100(100 - t^2) $ phải dương: $$ 100 - t^2 > 0 $$ $$ t^2 < 100 $$ $$ -10 < t < 10 $$ Vì $ t \geq 0 $, nên: $$ 0 \leq t < 10 $$ Như vậy, số lượng vi khuẩn tăng lên trong khoảng thời gian từ $ t = 0 $ đến $ t = 10 $ giây. Bước 3: Tính $ a - b $: $$ a = 0 $$ $$ b = 10 $$ $$ a - b = 0 - 10 = -10 $$ Đáp số: $ a - b = -10 $ Câu 6: Doanh thu của cửa hàng khi bán được q sản phẩm là: $$ R(q) = pq $$ Theo công thức đã cho, ta có: $$ p + 2q = 300 $$ $$ p = 300 - 2q $$ Thay giá trị của $ p $ vào doanh thu $ R(q) $: $$ R(q) = (300 - 2q)q = 300q - 2q^2 $$ Lợi nhuận của cửa hàng khi bán được q sản phẩm là: $$ P(q) = R(q) - C(q) $$ $$ P(q) = (300q - 2q^2) - (0,05q^3 - 5,7q^2 + 295q + 300) $$ $$ P(q) = 300q - 2q^2 - 0,05q^3 + 5,7q^2 - 295q - 300 $$ $$ P(q) = -0,05q^3 + 3,7q^2 + 5q - 300 $$ Để tìm số lượng sản phẩm $ q $ bán được để cửa hàng có lợi nhuận nhiều nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận $ P(q) $. Ta lấy đạo hàm của $ P(q) $ theo $ q $: $$ P'(q) = -0,15q^2 + 7,4q + 5 $$ Đặt $ P'(q) = 0 $ để tìm các điểm cực trị: $$ -0,15q^2 + 7,4q + 5 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai này: $$ q = \frac{-7,4 \pm \sqrt{7,4^2 - 4(-0,15)(5)}}{2(-0,15)} $$ $$ q = \frac{-7,4 \pm \sqrt{54,76 + 3}}{-0,3} $$ $$ q = \frac{-7,4 \pm \sqrt{57,76}}{-0,3} $$ $$ q = \frac{-7,4 \pm 7,6}{-0,3} $$ Ta có hai nghiệm: $$ q_1 = \frac{-7,4 + 7,6}{-0,3} = \frac{0,2}{-0,3} = -\frac{2}{3} $$ $$ q_2 = \frac{-7,4 - 7,6}{-0,3} = \frac{-15}{-0,3} = 50 $$ Do $ q $ phải nằm trong khoảng từ 0 đến 100, ta chọn $ q = 50 $. Kiểm tra dấu của $ P'(q) $ để xác định đây là điểm cực đại: $$ P''(q) = -0,3q + 7,4 $$ $$ P''(50) = -0,3(50) + 7,4 = -15 + 7,4 = -7,6 < 0 $$ Vậy $ q = 50 $ là điểm cực đại của hàm lợi nhuận. Do đó, số lượng sản phẩm $ q $ bán được để cửa hàng có lợi nhuận nhiều nhất là 50 sản phẩm.