giải toán hộ

Câu 21: Để xác định hàm số từ bảng biến thiên, ta cần phân tích các đặc điểm của hàm số dựa trên bảng biến thiên đã cho. 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không xác định tại \(x = 1\). Do đó, mẫu số của hàm số phải có nghiệm là \(x = 1\). 2. Dấu của đạo hàm \(f'(x)\): - \(f'(x) > 0\) khi \(x < 0\) và \(x > 2\). - \(f'(x) < 0\) khi \(0 < x < 1\) và \(1 < x < 2\). - \(f'(x) = 0\) tại \(x = 0\) và \(x = 2\). 3. Giá trị của hàm số \(f(x)\): - Hàm số có giá trị cực đại là 0 tại \(x = 0\). - Hàm số có giá trị cực tiểu là 4 tại \(x = 2\). 4. Phân tích các đáp án: - \(\textcircled{A}~y=\frac{x^2}{x-1}\): Đạo hàm \(y' = \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}\). Không phù hợp với bảng biến thiên. - \(\textcircled{B}~y=\frac{x^2+2x-2}{x-1}\): Đạo hàm \(y' = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x-2)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}\). Không phù hợp với bảng biến thiên. - \(\textcircled{C}~y=\frac{3x^2-4x}{x-1}\): Đạo hàm \(y' = \frac{(6x-4)(x-1) - (3x^2-4x)}{(x-1)^2} = \frac{3x^2 - 6x + 4}{(x-1)^2}\). Phù hợp với bảng biến thiên. - \(\textcircled{D}~y=\frac{-x^2}{x-1}\): Đạo hàm \(y' = \frac{-2x(x-1) + x^2}{(x-1)^2} = \frac{-x^2 + 2x}{(x-1)^2}\). Không phù hợp với bảng biến thiên. Vậy, hàm số phù hợp với bảng biến thiên là \(\textcircled{C}~y=\frac{3x^2-4x}{x-1}\). Câu 22: Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các phương án đã cho, ta cần phân tích các đặc điểm của đồ thị. 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Tất cả các hàm số đều có mẫu số là \(x+1\), do đó ĐKXĐ là \(x \neq -1\). 2. Tiệm cận đứng: - Do \(x = -1\) không thuộc miền xác định, nên tất cả các hàm số đều có tiệm cận đứng tại \(x = -1\). 3. Tiệm cận ngang: - Xét dạng của các hàm số, tất cả đều có bậc tử số bằng bậc mẫu số. Do đó, tiệm cận ngang là hệ số của \(x^2\) trong tử số chia cho hệ số của \(x^2\) trong mẫu số. - \(\textcircled{A}\) \(y = \frac{2x^2 + 3x + 1}{x+1}\) có tiệm cận ngang \(y = 2\). - \(\textcircled{B}\) \(y = \frac{x^2 + x + 4}{x+1}\) có tiệm cận ngang \(y = 1\). - \(\textcircled{C}\) \(y = \frac{-x^2 - 3x + 10}{x+1}\) có tiệm cận ngang \(y = -1\). - \(\textcircled{D}\) \(y = \frac{3x^2 + 5x - 2}{x+1}\) có tiệm cận ngang \(y = 3\). 4. Phân tích đồ thị: - Đồ thị có tiệm cận ngang \(y = -1\) và tiệm cận đứng \(x = -1\). Dựa vào các phân tích trên, đồ thị phù hợp với hàm số \(\textcircled{C}~y = \frac{-x^2 - 3x + 10}{x+1}\). Câu 23: Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các phương án đã cho, ta cần phân tích từng hàm số và so sánh với đồ thị đã cho. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Tất cả các hàm số đều có mẫu số là \(x - 2\), do đó điều kiện xác định là \(x \neq 2\). Bước 2: Phân tích từng hàm số 1. Hàm số A: \(y = \frac{-x^2 - 2x + 1}{x - 2}\) - Tử số: \(-x^2 - 2x + 1\) - Phân tích tử số: \(-x^2 - 2x + 1 = -(x^2 + 2x - 1)\) - Không có nhân tử chung với mẫu số. 2. Hàm số B: \(y = \frac{2x^2 + 6x - 8}{x - 2}\) - Tử số: \(2x^2 + 6x - 8\) - Phân tích tử số: \(2x^2 + 6x - 8 = 2(x^2 + 3x - 4)\) - Phân tích tiếp: \(x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)\) - Không có nhân tử chung với mẫu số. 3. Hàm số C: \(y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}\) - Tử số: \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\) - Không có nhân tử chung với mẫu số. 4. Hàm số D: \(y = \frac{-2x^2 + 6x - 8}{x - 2}\) - Tử số: \(-2x^2 + 6x - 8 = -2(x^2 - 3x + 4)\) - Phân tích tiếp: \(x^2 - 3x + 4\) không có nghiệm thực. - Không có nhân tử chung với mẫu số. Bước 3: So sánh với đồ thị - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \(x = 2\) và tiệm cận ngang. - Đồ thị có dạng hyperbol, với một nhánh đi qua gốc tọa độ \(O(0,0)\). Bước 4: Kiểm tra hàm số phù hợp - Hàm số B: \(y = \frac{2x^2 + 6x - 8}{x - 2}\) - Tử số: \(2x^2 + 6x - 8 = 2(x - 1)(x + 4)\) - Khi \(x = 0\), \(y = \frac{-8}{-2} = 4\), phù hợp với điểm trên đồ thị. - Hàm số D: \(y = \frac{-2x^2 + 6x - 8}{x - 2}\) - Khi \(x = 0\), \(y = \frac{-8}{-2} = 4\), cũng phù hợp với điểm trên đồ thị. Kết luận Dựa vào phân tích và so sánh với đồ thị, hàm số phù hợp là: \(\boxed{y = \frac{2x^2 + 6x - 8}{x - 2}}\) (Phương án B) Bài 1: Phần a) y = x³ + x - 2 1. Tập xác định: D = R 2. Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: Ta có y' = 3x² + 1 > 0 với mọi x thuộc R. Vậy hàm số đồng biến trên R. - Cực trị: Hàm số không có cực trị. - Giới hạn: \[ \lim_{x \to -\infty} y = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} y = +\infty \] - Bảng biến thiên: | x | -∞ | +∞ | |---------|------------|------------| | y' | + | + | | y | -∞ | +∞ | 3. Đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại điểm (1, 0) vì y(1) = 1³ + 1 - 2 = 0. - Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0, -2). Phần b) y = -x³ + 3x² - 3x + 2 1. Tập xác định: D = R 2. Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: Ta có y' = -3x² + 6x - 3 = -3(x² - 2x + 1) = -3(x - 1)² ≤ 0 với mọi x thuộc R. Vậy hàm số nghịch biến trên R. - Cực trị: Hàm số không có cực trị. - Giới hạn: \[ \lim_{x \to -\infty} y = +\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} y = -\infty \] - Bảng biến thiên: | x | -∞ | +∞ | |---------|------------|------------| | y' | - | - | | y | +∞ | -∞ | 3. Đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại điểm (1, 0) vì y(1) = -(1)³ + 3(1)² - 3(1) + 2 = 0. - Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0, 2). Phần c) y = $\frac{1}{3}$x³ + x² + 2x + 1 1. Tập xác định: D = R 2. Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: Ta có y' = x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1 > 0 với mọi x thuộc R. Vậy hàm số đồng biến trên R. - Cực trị: Hàm số không có cực trị. - Giới hạn: \[ \lim_{x \to -\infty} y = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} y = +\infty \] - Bảng biến thiên: | x | -∞ | +∞ | |---------|------------|------------| | y' | + | + | | y | -∞ | +∞ | 3. Đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại điểm (-1, 0) vì y(-1) = $\frac{1}{3}$(-1)³ + (-1)² + 2(-1) + 1 = 0. - Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0, 1). Bài 2: Câu a) \( y = \frac{3x + 5}{x + 2} \) 1. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \) 2. Giới hạn tại vô cực: - \( \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x + 5}{x + 2} = 3 \) - Tiệm cận ngang: \( y = 3 \) 3. Giới hạn tại điểm gián đoạn: - \( \lim_{x \to -2^-} y = -\infty \) - \( \lim_{x \to -2^+} y = +\infty \) - Tiệm cận đứng: \( x = -2 \) 4. Đạo hàm: - \( y' = \frac{(3)(x + 2) - (3x + 5)}{(x + 2)^2} = \frac{1}{(x + 2)^2} > 0 \) trên \( D \) - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (-2, +\infty) \) 5. Bảng biến thiên: - \( y' > 0 \) trên \( D \) - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (-2, +\infty) \) 6. Điểm uốn: - Đồ thị không có điểm uốn. 7. Đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại \( x = -\frac{5}{3} \) - Đồ thị cắt trục tung tại \( y = \frac{5}{2} \) Câu b) \( y = \frac{x - 3}{1 - x} \) 1. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \) 2. Giới hạn tại vô cực: - \( \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x - 3}{1 - x} = -1 \) - Tiệm cận ngang: \( y = -1 \) 3. Giới hạn tại điểm gián đoạn: - \( \lim_{x \to 1^-} y = +\infty \) - \( \lim_{x \to 1^+} y = -\infty \) - Tiệm cận đứng: \( x = 1 \) 4. Đạo hàm: - \( y' = \frac{(1)(1 - x) - (x - 3)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{4}{(1 - x)^2} > 0 \) trên \( D \) - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \) 5. Bảng biến thiên: - \( y' > 0 \) trên \( D \) - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \) 6. Điểm uốn: - Đồ thị không có điểm uốn. 7. Đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại \( x = 3 \) - Đồ thị cắt trục tung tại \( y = 3 \) Câu c) \( y = \frac{-2x}{x + 1} \) 1. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \) 2. Giới hạn tại vô cực: - \( \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x}{x + 1} = -2 \) - Tiệm cận ngang: \( y = -2 \) 3. Giới hạn tại điểm gián đoạn: - \( \lim_{x \to -1^-} y = +\infty \) - \( \lim_{x \to -1^+} y = -\infty \) - Tiệm cận đứng: \( x = -1 \) 4. Đạo hàm: - \( y' = \frac{(-2)(x + 1) - (-2x)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{-2}{(x + 1)^2} < 0 \) trên \( D \) - Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (-1, +\infty) \) 5. Bảng biến thiên: - \( y' < 0 \) trên \( D \) - Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (-1, +\infty) \) 6. Điểm uốn: - Đồ thị không có điểm uốn. 7. Đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại \( x = 0 \) - Đồ thị cắt trục tung tại \( y = 0 \) Câu d) \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \) 1. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \) 2. Giới hạn tại vô cực: - \( \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = +\infty \) - Tiệm cận xiên: \( y = x - 1 \) 3. Giới hạn tại điểm gián đoạn: - \( \lim_{x \to 1^-} y = -\infty \) - \( \lim_{x \to 1^+} y = +\infty \) - Tiệm cận đứng: \( x = 1 \) 4. Đạo hàm: - \( y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2} > 0 \) trên \( D \) - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \) 5. Bảng biến thiên: - \( y' > 0 \) trên \( D \) - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \) 6. Điểm uốn: - Đồ thị không có điểm uốn. 7. Đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại \( x = 1 \pm i \) (không thực) - Đồ thị cắt trục tung tại \( y = -2 \) Câu e) \( y = \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} \) 1. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \) 2. Giới hạn tại vô cực: - \( \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} = -\infty \) - Tiệm cận xiên: \( y = -x + 4 \) 3. Giới hạn tại điểm gián đoạn: - \( \lim_{x \to 2^-} y = -\infty \) - \( \lim_{x \to 2^+} y = +\infty \) - Tiệm cận đứng: \( x = 2 \) 4. Đạo hàm: - \( y' = \frac{(-2x + 2)(x - 2) - (-x^2 + 2x - 4)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{-x^2 + 4x - 8}{(x - 2)^2} < 0 \) trên \( D \) - Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, 2) \) và \( (2, +\infty) \) 5. Bảng biến thiên: - \( y' < 0 \) trên \( D \) - Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, 2) \) và \( (2, +\infty) \) 6. Điểm uốn: - Đồ thị không có điểm uốn. 7. Đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại \( x = 1 \pm i \) (không thực) - Đồ thị cắt trục tung tại \( y = 2 \) Câu f) \( y = \frac{2x^2 + 3x - 5}{x + 2} \) 1. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \) 2. Giới hạn tại vô cực: - \( \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + 3x - 5}{x + 2} = +\infty \) - Tiệm cận xiên: \( y = 2x - 1 \) 3. Giới hạn tại điểm gián đoạn: - \( \lim_{x \to -2^-} y = -\infty \) - \( \lim_{x \to -2^+} y = +\infty \) - Tiệm cận đứng: \( x = -2 \) 4. Đạo hàm: - \( y' = \frac{(4x + 3)(x + 2) - (2x^2 + 3x - 5)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 8x + 11}{(x + 2)^2} > 0 \) trên \( D \) - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (-2, +\infty) \) 5. Bảng biến thiên: - \( y' > 0 \) trên \( D \) - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (-2, +\infty) \) 6. Điểm uốn: - Đồ thị không có điểm uốn. 7. Đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại \( x = 1 \) và \( x = -\frac{5}{2} \) - Đồ thị cắt trục tung tại \( y = -\frac{5}{2} \)