giải chi tiết

Câu 4: Để giải quyết các khẳng định, ta cần phân tích đồ thị hàm số bậc ba \( y = f(x) \) dựa trên hình vẽ. a) Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (1;+\infty) \) Quan sát đồ thị, ta thấy từ \( x = 1 \) trở đi, đồ thị đi lên. Điều này cho thấy hàm số đồng biến trên khoảng \( (1;+\infty) \). Khẳng định a đúng. b) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số là 0 Từ đồ thị, ta thấy: - Giá trị cực đại tại \( x = -1 \) là \( y = 3 \). - Giá trị cực tiểu tại \( x = 1 \) là \( y = -3 \). Tổng giá trị cực đại và cực tiểu là \( 3 + (-3) = 0 \). Khẳng định b đúng. c) Hàm số \( y = f(x) \) có hai cực trị trái dấu Như đã phân tích ở trên: - Giá trị cực đại là \( 3 \). - Giá trị cực tiểu là \( -3 \). Hai giá trị này trái dấu. Khẳng định c đúng. d) Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là \( y = -3x \) Hai điểm cực trị là \( (-1, 3) \) và \( (1, -3) \). Tính hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm này: \[ m = \frac{-3 - 3}{1 - (-1)} = \frac{-6}{2} = -3 \] Phương trình đường thẳng có dạng \( y = -3x + b \). Thay điểm \( (-1, 3) \) vào phương trình để tìm \( b \): \[ 3 = -3(-1) + b \implies 3 = 3 + b \implies b = 0 \] Vậy phương trình đường thẳng là \( y = -3x \). Khẳng định d đúng. Tóm lại, tất cả các khẳng định a, b, c, d đều đúng. Câu 1: Để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + 4x + 2 \) đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó, đạo hàm của hàm số phải không âm trên toàn bộ miền xác định. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = x^2 - 2mx + 4 \] Bước 2: Để hàm số đồng biến, đạo hàm \( y' \geq 0 \) với mọi \( x \). Điều này xảy ra khi phương trình \( x^2 - 2mx + 4 = 0 \) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép. Bước 3: Xét biệt thức của phương trình \( x^2 - 2mx + 4 = 0 \): \[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4m^2 - 16 \] Bước 4: Hàm số đồng biến nếu \( \Delta \leq 0 \): \[ 4m^2 - 16 \leq 0 \] \[ 4m^2 \leq 16 \] \[ m^2 \leq 4 \] \[ -2 \leq m \leq 2 \] Bước 5: Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \([-2, 2]\) là: \[ m = -2, -1, 0, 1, 2 \] Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + 4x + 2 \) đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó. Câu 2: Để tìm thời điểm mà vật đạt độ cao lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( h(t) \): \[ h'(t) = 24,5 - 9,8t \] Bước 2: Đặt \( h'(t) = 0 \) để tìm các giá trị tới hạn: \[ 24,5 - 9,8t = 0 \] \[ 9,8t = 24,5 \] \[ t = \frac{24,5}{9,8} \] \[ t = 2,5 \] Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định tính chất của điểm tới hạn: - Khi \( t < 2,5 \), \( h'(t) > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( t > 2,5 \), \( h'(t) < 0 \) (hàm số giảm). Do đó, tại \( t = 2,5 \) giây, hàm số \( h(t) \) đạt giá trị lớn nhất. Vậy, tại thời điểm \( t = 2,5 \) giây, vật đạt độ cao lớn nhất. Câu 3: Để tìm thời điểm mà tốc độ bán hàng là lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm \( f'(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm \( f'(t) \). Hàm số \( f(t) = \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức \( \frac{u}{v} \): \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: \[ u = 5000 \] \[ v = 1 + 5e^{-t} \] Ta có: \[ u' = 0 \] \[ v' = -5e^{-t} \] Do đó: \[ f'(t) = \frac{0 \cdot (1 + 5e^{-t}) - 5000 \cdot (-5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^2} \] \[ f'(t) = \frac{25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \). Để tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \), ta xét đạo hàm bậc hai \( f''(t) \) và tìm điểm cực đại. Tính \( f''(t) \): Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ f''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} \right) \] \[ u = 25000e^{-t} \] \[ v = (1 + 5e^{-t})^2 \] \[ u' = -25000e^{-t} \] \[ v' = 2(1 + 5e^{-t})(-5e^{-t}) = -10e^{-t}(1 + 5e^{-t}) \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t}(1 + 5e^{-t})^2 - 25000e^{-t}(-10e^{-t}(1 + 5e^{-t}))}{(1 + 5e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t}(1 + 5e^{-t})^2 + 250000e^{-2t}(1 + 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4} \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t}(1 + 5e^{-t}) + 250000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3} \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t} - 125000e^{-2t} + 250000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3} \] \[ f''(t) = \frac{-25000e^{-t} + 125000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3} \] Đặt \( f''(t) = 0 \) để tìm điểm cực đại: \[ -25000e^{-t} + 125000e^{-2t} = 0 \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 4: Để tìm gia tốc của tàu con thoi, chúng ta cần tính đạo hàm của vận tốc theo thời gian, tức là đạo hàm của \( v(t) \). Cho \( v(t) = 0,001302t^3 - 0,09029t^2 + 23 \). Đạo hàm \( v(t) \) theo \( t \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 0,003906t^2 - 0,18058t \] Tiếp theo, để tìm khoảng thời gian mà gia tốc tăng, chúng ta cần tìm đạo hàm của \( a(t) \) và xác định nơi đạo hàm này dương (gia tốc tăng). Đạo hàm \( a(t) \) theo \( t \): \[ \frac{da}{dt} = 0,007812t - 0,18058 \] Đặt \( \frac{da}{dt} > 0 \) để tìm khoảng thời gian mà gia tốc tăng: \[ 0,007812t - 0,18058 > 0 \] \[ 0,007812t > 0,18058 \] \[ t > \frac{0,18058}{0,007812} \] \[ t > 23,12 \] Do đó, gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian \( (23,12; 126) \). Tính tổng \( a + b \): \[ a + b = 23,12 + 126 \approx 149,12 \] Quy tròn đến hàng đơn vị: \[ a + b \approx 149 \] Đáp án cuối cùng: \[ a + b = 149 \] Câu 5: Để tìm khoảng thời gian từ \(a\) đến \(b\) (giây) mà số lượng vi khuẩn tăng lên, chúng ta cần xác định khoảng thời gian mà đạo hàm của \(N(t)\) dương. Công thức số lượng vi khuẩn: \[ N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^2} \] Bước 1: Tìm đạo hàm của \(N(t)\): \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(1000 + \frac{100t}{100 + t^2}\right) \] \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{100t}{100 + t^2}\right) \] Sử dụng quy tắc thương số: \[ N'(t) = \frac{(100)(100 + t^2) - (100t)(2t)}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{10000 + 100t^2 - 200t^2}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{10000 - 100t^2}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} \] Bước 2: Xác định khoảng thời gian mà \(N'(t) > 0\): \[ N'(t) > 0 \implies \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} > 0 \] Do \((100 + t^2)^2 > 0\) luôn đúng, nên: \[ 100 - t^2 > 0 \] \[ t^2 < 100 \] \[ -10 < t < 10 \] Vì \(t \geq 0\), nên khoảng thời gian mà số lượng vi khuẩn tăng lên là: \[ 0 \leq t < 10 \] Bước 3: Xác định \(a\) và \(b\): \[ a = 0 \] \[ b = 10 \] Bước 4: Tính \(a - b\): \[ a - b = 0 - 10 = -10 \] Đáp số: \(a - b = -10\) Câu 6: Để tìm số lượng sản phẩm \( q \) bán được để cửa hàng có lợi nhuận nhiều nhất, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định doanh thu và chi phí: - Doanh thu \( R(q) \) là số tiền thu được từ việc bán \( q \) sản phẩm. Công thức doanh thu là: \[ R(q) = p \cdot q \] Từ công thức \( p + 2q = 300 \), ta có: \[ p = 300 - 2q \] Do đó, doanh thu \( R(q) \) là: \[ R(q) = (300 - 2q) \cdot q = 300q - 2q^2 \] - Chi phí \( C(q) \) là số tiền cửa hàng cần chi để nhập về \( q \) sản phẩm. Công thức chi phí đã cho là: \[ C(q) = 0.05q^3 - 5.7q^2 + 295q + 300 \] 2. Xác định lợi nhuận: - Lợi nhuận \( P(q) \) là sự chênh lệch giữa doanh thu và chi phí: \[ P(q) = R(q) - C(q) \] Thay các công thức \( R(q) \) và \( C(q) \) vào, ta có: \[ P(q) = (300q - 2q^2) - (0.05q^3 - 5.7q^2 + 295q + 300) \] \[ P(q) = 300q - 2q^2 - 0.05q^3 + 5.7q^2 - 295q - 300 \] \[ P(q) = -0.05q^3 + 3.7q^2 + 5q - 300 \] 3. Tìm giá trị lớn nhất của lợi nhuận: - Để tìm giá trị lớn nhất của \( P(q) \), ta cần tìm đạo hàm bậc nhất của \( P(q) \) và giải phương trình \( P'(q) = 0 \): \[ P'(q) = \frac{d}{dq}(-0.05q^3 + 3.7q^2 + 5q - 300) \] \[ P'(q) = -0.15q^2 + 7.4q + 5 \] Giải phương trình \( P'(q) = 0 \): \[ -0.15q^2 + 7.4q + 5 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta sử dụng công thức nghiệm: \[ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = -0.15 \), \( b = 7.4 \), và \( c = 5 \): \[ q = \frac{-7.4 \pm \sqrt{7.4^2 - 4(-0.15)(5)}}{2(-0.15)} \] \[ q = \frac{-7.4 \pm \sqrt{54.76 + 3}}{-0.3} \] \[ q = \frac{-7.4 \pm \sqrt{57.76}}{-0.3} \] \[ q = \frac{-7.4 \pm 7.6}{-0.3} \] Ta có hai nghiệm: \[ q_1 = \frac{-7.4 + 7.6}{-0.3} = \frac{0.2}{-0.3} = -\frac{2}{3} \] \[ q_2 = \frac{-7.4 - 7.6}{-0.3} = \frac{-15}{-0.3} = 50 \] 4. Kiểm tra giá trị lớn nhất trong khoảng \( 0 \leq q \leq 100 \): - Ta kiểm tra giá trị của \( P(q) \) tại \( q = 50 \) và các điểm biên \( q = 0 \) và \( q = 100 \): \[ P(0) = -0.05(0)^3 + 3.7(0)^2 + 5(0) - 300 = -300 \] \[ P(50) = -0.05(50)^3 + 3.7(50)^2 + 5(50) - 300 \] \[ P(50) = -0.05(125000) + 3.7(2500) + 250 - 300 \] \[ P(50) = -6250 + 9250 + 250 - 300 = 2950 \] \[ P(100) = -0.05(100)^3 + 3.7(100)^2 + 5(100) - 300 \] \[ P(100) = -0.05(1000000) + 3.7(10000) + 500 - 300 \] \[ P(100) = -50000 + 37000 + 500 - 300 = -12800 \] - Giá trị lớn nhất của \( P(q) \) trong khoảng \( 0 \leq q \leq 100 \) là \( P(50) = 2950 \). Vậy, số lượng sản phẩm \( q \) bán được để cửa hàng có lợi nhuận nhiều nhất là \( q = 50 \).