giải chi tiết

Câu 11: Để tìm giá trị cực đại của hàm số dựa vào bảng biến thiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cực trị: - Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = 0 \). Điều này cho thấy \( x = 0 \) là điểm cực đại. 2. Giá trị cực đại: - Tại \( x = 0 \), giá trị của hàm số \( y = 1 \). Vậy, giá trị cực đại của hàm số là \( y = 1 \). Do đó, đáp án đúng là \( A.~y=1 \). Câu 12: Để xác định điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \) từ đồ thị, ta cần tìm điểm mà đồ thị chuyển từ tăng sang giảm. Quan sát đồ thị: 1. Tại \( x = -1 \), đồ thị chuyển từ tăng sang giảm. Đây là dấu hiệu của một điểm cực đại. 2. Tại các điểm khác như \( x = 2 \), \( x = 1 \), và \( x = -2 \), đồ thị không có sự chuyển đổi từ tăng sang giảm. Vì vậy, hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \). Đáp án đúng là: \( A.~x=-1. \) Câu 1: Để kiểm tra các mệnh đề về tính chất của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x - 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x - 2 \) là: \[ y' = 3x^2 - 6x - 9 \] Bước 2: Tìm các điểm tới hạn Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 3: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến Ta xét dấu của \( y' \) trên các khoảng \((-\infty, -1)\), \((-1, 3)\), và \((3, +\infty)\). - Trên khoảng \((-\infty, -1)\): Chọn \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \] Hàm số đồng biến. - Trên khoảng \((-1, 3)\): Chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0 \] Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \((3, +\infty)\): Chọn \( x = 4 \): \[ y'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \] Hàm số đồng biến. Bước 4: Kiểm tra các mệnh đề a) Hàm số đồng biến trên \((3;+\infty)\). Đúng, vì \( y' > 0 \) trên khoảng này. b) Hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \). Sai, vì \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 3 \), tức là hàm số chuyển từ nghịch biến sang đồng biến, nên \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. c) Hàm số có giá trị cực đại là 3. Sai, vì \( x = 3 \) là điểm cực tiểu, không phải điểm cực đại. d) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \((3; -29)\). Đúng, vì \( x = 3 \) là điểm cực tiểu và giá trị của hàm số tại \( x = 3 \) là: \[ y(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) - 2 = 27 - 27 - 27 - 2 = -29 \] Kết luận a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 2: Để kiểm tra các mệnh đề về tính đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1} \) có mẫu số \( x - 1 \neq 0 \), do đó: \[ x \neq 1 \] Tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Bước 2: Tính đạo hàm Để xét tính đơn điệu và cực trị, chúng ta cần tính đạo hàm của \( f(x) \). Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \implies f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Trong đó: \[ u(x) = x^2 + 3x \] \[ v(x) = x - 1 \] Tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \): \[ u'(x) = 2x + 3 \] \[ v'(x) = 1 \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x^2 + 3x - 2x - 3) - (x^2 + 3x)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm Để xét tính đơn điệu, chúng ta cần xét dấu của \( f'(x) \). \[ f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2} \] Các điểm tới hạn là: \[ x = -1, \quad x = 1, \quad x = 3 \] Chúng ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng: \[ (-\infty, -1), \quad (-1, 1), \quad (1, 3), \quad (3, \infty) \] Khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = \frac{(-2 - 3)(-2 + 1)}{(-2 - 1)^2} = \frac{(-5)(-1)}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (-\infty, -1) \). Khoảng \( (-1, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = \frac{(0 - 3)(0 + 1)}{(0 - 1)^2} = \frac{(-3)(1)}{1} = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (-1, 1) \). Khoảng \( (1, 3) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = \frac{(2 - 3)(2 + 1)}{(2 - 1)^2} = \frac{(-1)(3)}{1} = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (1, 3) \). Khoảng \( (3, \infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = \frac{(4 - 3)(4 + 1)}{(4 - 1)^2} = \frac{(1)(5)}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( (3, \infty) \). Bước 4: Kiểm tra các mệnh đề a) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \). \[ \text{Đúng} \] b) Cực đại của hàm số là 1. \[ \text{Sai} \] Giá trị cực đại của hàm số là \( f(-1) \): \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 + 3(-1)}{-1 - 1} = \frac{1 - 3}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 \] Tuy nhiên, đây là giá trị tại \( x = -1 \), không phải là cực đại toàn cục. c) Hàm số có ba điểm cực trị. \[ \text{Sai} \] Hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 3 \). d) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1, 3) \). \[ \text{Đúng} \] Kết luận a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = 2^{x^2 - 3x + 13} \). 2. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. 3. Tìm các điểm cực trị của hàm số. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số \( y = 2^{x^2 - 3x + 13} \). Đặt \( u = x^2 - 3x + 13 \). Khi đó \( y = 2^u \). Ta có: \[ \frac{dy}{du} = 2^u \ln 2 \] \[ \frac{du}{dx} = 2x - 3 \] Theo quy tắc chuỗi, đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2^u \ln 2 \cdot (2x - 3) \] Thay \( u = x^2 - 3x + 13 \) vào, ta được: \[ \frac{dy}{dx} = 2^{x^2 - 3x + 13} \ln 2 \cdot (2x - 3) \] Bước 2: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến Để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến, ta xét dấu của đạo hàm \( \frac{dy}{dx} \). \[ \frac{dy}{dx} = 2^{x^2 - 3x + 13} \ln 2 \cdot (2x - 3) \] Vì \( 2^{x^2 - 3x + 13} > 0 \) và \( \ln 2 > 0 \) luôn đúng, nên dấu của \( \frac{dy}{dx} \) phụ thuộc vào \( 2x - 3 \). - \( 2x - 3 > 0 \) khi \( x > \frac{3}{2} \) - \( 2x - 3 < 0 \) khi \( x < \frac{3}{2} \) Do đó: - Hàm số đồng biến trên khoảng \( \left( \frac{3}{2}, +\infty \right) \) - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( \left( -\infty, \frac{3}{2} \right) \) Bước 3: Tìm các điểm cực trị Điểm cực trị xảy ra khi đạo hàm đổi dấu, tức là tại \( x = \frac{3}{2} \). Tính giá trị của hàm số tại \( x = \frac{3}{2} \): \[ y\left( \frac{3}{2} \right) = 2^{\left( \frac{3}{2} \right)^2 - 3 \left( \frac{3}{2} \right) + 13} = 2^{\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 13} = 2^{\frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{52}{4}} = 2^{\frac{43}{4}} \] Vậy, hàm số có giá trị cực tiểu tại \( x = \frac{3}{2} \) và giá trị cực tiểu là \( y_{CT} = 2^{\frac{43}{4}} \). Kết luận a) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1; 0) \). b) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; 2) \). c) Hàm số có giá trị cực tiểu \( y_{CT} = 2^{\frac{43}{4}} \). d) Hàm số có 1 điểm cực trị. Câu 4: Để giải quyết các khẳng định, ta cần phân tích đồ thị của hàm số bậc ba \( y = f(x) \). a) Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (1;+\infty) \). Quan sát đồ thị, ta thấy từ \( x = 1 \) trở đi, đồ thị đi lên, nghĩa là hàm số đồng biến. Do đó, khẳng định a) là đúng. b) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số là 0. - Giá trị cực đại của hàm số là 3 (tại \( x = -1 \)). - Giá trị cực tiểu của hàm số là -1 (tại \( x = 1 \)). Tổng giá trị cực đại và cực tiểu là \( 3 + (-1) = 2 \). Do đó, khẳng định b) là sai. c) Hàm số \( y = f(x) \) có hai cực trị trái dấu. - Giá trị cực đại là 3 (dương). - Giá trị cực tiểu là -1 (âm). Hai giá trị này trái dấu. Do đó, khẳng định c) là đúng. d) Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là \( d:~y=-3x \). Hai điểm cực trị là \( (-1, 3) \) và \( (1, -1) \). Tính hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm này: \[ m = \frac{-1 - 3}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2 \] Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: \[ y - 3 = -2(x + 1) \] \[ y = -2x - 2 - 3 \] \[ y = -2x - 5 \] Phương trình này không phải là \( y = -3x \). Do đó, khẳng định d) là sai. Câu 1: Để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + 4x + 2 \) đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó, đạo hàm của hàm số phải không âm trên toàn bộ miền xác định. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = x^2 - 2mx + 4 \] Bước 2: Để hàm số đồng biến, ta yêu cầu \( y' \geq 0 \) với mọi \( x \). Điều này xảy ra khi đồ thị của \( y' \) nằm hoàn toàn phía trên hoặc tiếp xúc trục hoành. Bước 3: Xét dấu của \( y' \): \[ y' = x^2 - 2mx + 4 \] Đây là một đa thức bậc hai với hệ số \( a = 1 > 0 \), do đó đồ thị của nó là một parabol mở lên. Bước 4: Hàm số \( y' \) sẽ không âm nếu \( y' \) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi biệt số \( \Delta \leq 0 \). Tính biệt số \( \Delta \): \[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4m^2 - 16 \] Yêu cầu \( \Delta \leq 0 \): \[ 4m^2 - 16 \leq 0 \] \[ 4m^2 \leq 16 \] \[ m^2 \leq 4 \] \[ -2 \leq m \leq 2 \] Bước 5: Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \([-2, 2]\) là: \[ m = -2, -1, 0, 1, 2 \] Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + 4x + 2 \) đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. Câu 2: Để tìm thời điểm mà vật đạt độ cao lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( h(t) \): \[ h'(t) = 24,5 - 9,8t \] Bước 2: Đặt \( h'(t) = 0 \) để tìm các điểm dừng: \[ 24,5 - 9,8t = 0 \] \[ 9,8t = 24,5 \] \[ t = \frac{24,5}{9,8} \] \[ t = 2,5 \] Bước 3: Kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định tính chất của điểm dừng: - Khi \( t < 2,5 \), \( h'(t) > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( t > 2,5 \), \( h'(t) < 0 \) (hàm số giảm). Do đó, tại \( t = 2,5 \) giây, hàm số \( h(t) \) đạt giá trị lớn nhất. Vậy, tại thời điểm \( t = 2,5 \) giây, vật đạt độ cao lớn nhất. Câu 3: Để tìm thời điểm mà tốc độ bán hàng là lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm \( f'(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm \( f'(t) \). Hàm số \( f(t) = \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{5000}{1 + 5e^{-t}} \right). \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức \( \frac{u}{v} \): \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}, \] trong đó \( u = 5000 \) và \( v = 1 + 5e^{-t} \). Ta có: \[ u' = 0 \quad \text{(vì 5000 là hằng số)}, \] \[ v' = \frac{d}{dt} (1 + 5e^{-t}) = 5 \cdot (-e^{-t}) = -5e^{-t}. \] Do đó: \[ f'(t) = \frac{0 \cdot (1 + 5e^{-t}) - 5000 \cdot (-5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^2} = \frac{25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2}. \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của \( f'(t) \). Đặt \( g(t) = \frac{25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} \). Để tìm giá trị lớn nhất của \( g(t) \), ta xét đạo hàm của \( g(t) \): \[ g'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{25000e^{-t}}{(1 + 5e^{-t})^2} \right). \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ g'(t) = \frac{(25000e^{-t})' \cdot (1 + 5e^{-t})^2 - 25000e^{-t} \cdot \frac{d}{dt} (1 + 5e^{-t})^2}{(1 + 5e^{-t})^4}. \] Tính đạo hàm của tử số: \[ (25000e^{-t})' = 25000 \cdot (-e^{-t}) = -25000e^{-t}, \] \[ \frac{d}{dt} (1 + 5e^{-t})^2 = 2(1 + 5e^{-t}) \cdot (-5e^{-t}) = -10e^{-t}(1 + 5e^{-t}). \] Do đó: \[ g'(t) = \frac{-25000e^{-t} \cdot (1 + 5e^{-t})^2 - 25000e^{-t} \cdot (-10e^{-t}(1 + 5e^{-t}))}{(1 + 5e^{-t})^4}. \] Rút gọn: \[ g'(t) = \frac{-25000e^{-t} \cdot (1 + 5e^{-t})^2 + 250000e^{-2t}(1 + 5e^{-t})}{(1 + 5e^{-t})^4}. \] \[ g'(t) = \frac{-25000e^{-t}(1 + 5e^{-t}) + 250000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3}. \] \[ g'(t) = \frac{-25000e^{-t} - 125000e^{-2t} + 250000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3}. \] \[ g'(t) = \frac{-25000e^{-t} + 125000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3}. \] \[ g'(t) = \frac{-25000e^{-t} + 125000e^{-2t}}{(1 + 5e^{-t})^3}. \] Đặt \( g'(t) = 0 \): \[ -25000e^{-t} + 125000e^{-2t} = 0. \] \[ 125000e^{-2t} = 25000e^{-t}. \] \[ 5e^{-2t} = e^{-t}. \] \[ 5e^{-t} = 1. \] \[ e^{-t} = \frac{1}{5}. \] \[ -t = \ln \left( \frac{1}{5} \right). \] \[ t = \ln 5. \] Bước 3: Kiểm tra giá trị tại \( t = \ln 5 \). Thay \( t = \ln 5 \) vào \( f'(t) \): \[ f'(\ln 5) = \frac{25000e^{-\ln 5}}{(1 + 5e^{-\ln 5})^2}. \] \[ e^{-\ln 5} = \frac{1}{5}. \] \[ f'(\ln 5) = \frac{25000 \cdot \frac{1}{5}}{(1 + 5 \cdot \frac{1}{5})^2} = \frac{5000}{(1 + 1)^2} = \frac{5000}{4} = 1250. \] Vậy, tốc độ bán hàng lớn nhất là 1250 sản phẩm/năm, đạt được khi \( t = \ln 5 \approx 1.609 \) năm. Đáp số: Sau khoảng 1.61 năm (quy tròn đến hàng phần trăm) thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.