Giúp em với

Câu 3. Để tìm giá trị của \( F\left(\frac{\pi}{4}\right) \), chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2025 + \tan^2 x \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Ta biết rằng: \[ \int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \tan x - x + C \] Do đó: \[ \int (2025 + \tan^2 x) \, dx = \int 2025 \, dx + \int \tan^2 x \, dx = 2025x + \tan x - x + C = 2024x + \tan x + C \] Vậy: \[ F(x) = 2024x + \tan x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng điều kiện \( F(0) = 3 \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = 2024 \cdot 0 + \tan 0 + C = 0 + 0 + C = C \] \[ C = 3 \] Vậy: \[ F(x) = 2024x + \tan x + 3 \] Bước 3: Tính giá trị của \( F\left(\frac{\pi}{4}\right) \). Thay \( x = \frac{\pi}{4} \) vào \( F(x) \): \[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2024 \cdot \frac{\pi}{4} + \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) + 3 \] \[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2024 \cdot \frac{\pi}{4} + 1 + 3 \] \[ F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 506\pi + 4 \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có giá trị \( 506\pi + 4 \). Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại các bước tính toán và đảm bảo rằng tất cả các phép tính đều chính xác. Kết luận: Giá trị của \( F\left(\frac{\pi}{4}\right) \) là \( 506\pi + 4 \). Đáp án đúng là: \( 506\pi + 4 \). Câu 4. Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x}$ trên khoảng $(-\infty, 0)$, ta có: \[ F(x) = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \] Trên khoảng $(-\infty, 0)$, ta có $|x| = -x$. Do đó: \[ F(x) = \ln (-x) + C \] Biết rằng $F(-2) = 0$, ta thay vào để tìm giá trị của hằng số $C$: \[ F(-2) = \ln (-(-2)) + C = \ln 2 + C = 0 \] Từ đó suy ra: \[ C = -\ln 2 \] Vậy nguyên hàm của $y = \frac{1}{x}$ trên khoảng $(-\infty, 0)$ là: \[ F(x) = \ln (-x) - \ln 2 = \ln \left( \frac{-x}{2} \right) \] Do đó, khẳng định đúng là: A. $F(x) = \ln \left( \frac{-x}{2} \right) \quad \forall x \in (-\infty, 0)$ Đáp án: A. $F(x) = \ln \left( \frac{-x}{2} \right) \quad \forall x \in (-\infty, 0)$ Câu 5. Để tìm giá trị của \( F(\ln 3) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = e^{2x} \). Nguyên hàm của \( e^{2x} \) là: \[ F(x) = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F(0) = 0 \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} + C = \frac{1}{2} \cdot 1 + C = \frac{1}{2} + C \] Theo điều kiện \( F(0) = 0 \): \[ \frac{1}{2} + C = 0 \] \[ C = -\frac{1}{2} \] Do đó, nguyên hàm cụ thể của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} - \frac{1}{2} \] Bước 3: Tính giá trị của \( F(\ln 3) \). Thay \( x = \ln 3 \) vào \( F(x) \): \[ F(\ln 3) = \frac{1}{2} e^{2 \ln 3} - \frac{1}{2} \] \[ F(\ln 3) = \frac{1}{2} e^{\ln 9} - \frac{1}{2} \] \[ F(\ln 3) = \frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \] \[ F(\ln 3) = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \] \[ F(\ln 3) = \frac{8}{2} \] \[ F(\ln 3) = 4 \] Vậy giá trị của \( F(\ln 3) \) là 4. Đáp án đúng là: D. 4. Câu 6. Để tính $F(-1)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2^x + x + 1$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$ Nguyên hàm của $2^x$ là $\frac{2^x}{\ln 2}$. Nguyên hàm của $x$ là $\frac{x^2}{2}$. Nguyên hàm của $1$ là $x$. Do đó, nguyên hàm tổng quát của $f(x)$ là: \[ F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{x^2}{2} + x + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ Biết rằng $F(0) = 1$, ta thay $x = 0$ vào biểu thức trên để tìm $C$: \[ F(0) = \frac{2^0}{\ln 2} + \frac{0^2}{2} + 0 + C = 1 \] \[ \frac{1}{\ln 2} + C = 1 \] \[ C = 1 - \frac{1}{\ln 2} \] Bước 3: Viết lại biểu thức của $F(x)$ với giá trị của $C$ \[ F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{x^2}{2} + x + 1 - \frac{1}{\ln 2} \] Bước 4: Tính $F(-1)$ Thay $x = -1$ vào biểu thức của $F(x)$: \[ F(-1) = \frac{2^{-1}}{\ln 2} + \frac{(-1)^2}{2} + (-1) + 1 - \frac{1}{\ln 2} \] \[ F(-1) = \frac{1/2}{\ln 2} + \frac{1}{2} - 1 + 1 - \frac{1}{\ln 2} \] \[ F(-1) = \frac{1}{2 \ln 2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{\ln 2} \] \[ F(-1) = \frac{1}{2 \ln 2} + \frac{1}{2} - \frac{2}{2 \ln 2} \] \[ F(-1) = \frac{1 - 2}{2 \ln 2} + \frac{1}{2} \] \[ F(-1) = \frac{-1}{2 \ln 2} + \frac{1}{2} \] Vậy kết quả là: \[ F(-1) = \frac{-1}{2 \ln 2} + \frac{1}{2} \]