3iu toán hi giúp vs

Câu 14: a. Ta có: \[ \overrightarrow{SO} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BO} \] Điều này đúng vì theo quy tắc trừ vectơ, \(\overrightarrow{SO} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{BO}\). b. Ta tính \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{OB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4, 7, 0) - (4, 0, 0) = (0, 7, 0) \] \[ \overrightarrow{OB} = B - O = (4, 7, 0) - (0, 0, 0) = (4, 7, 0) \] Sau đó, ta tính \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{OB}\): \[ \overrightarrow{x} = (0, 7, 0) - 2(4, 7, 0) = (0, 7, 0) - (8, 14, 0) = (-8, -7, 0) \] Điều này đúng. c. Ta tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{BQ}\): \[ \overrightarrow{BQ} = Q - B = (2, 7, 4) - (4, 7, 0) = (-2, 0, 4) \] Độ dài vectơ \(\overrightarrow{BQ}\) là: \[ |\overrightarrow{BQ}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Điều này sai vì độ dài vectơ \(\overrightarrow{BQ}\) không bằng 20. d. Ta tính góc giữa hai mái của cái lều. Gọi hai vectơ đại diện cho hai mái là \(\overrightarrow{AQ}\) và \(\overrightarrow{BQ}\): \[ \overrightarrow{AQ} = Q - A = (2, 7, 4) - (4, 0, 0) = (-2, 7, 4) \] \[ \overrightarrow{BQ} = Q - B = (2, 7, 4) - (4, 7, 0) = (-2, 0, 4) \] Ta tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AQ} \cdot \overrightarrow{BQ}\): \[ \overrightarrow{AQ} \cdot \overrightarrow{BQ} = (-2)(-2) + 7(0) + 4(4) = 4 + 0 + 16 = 20 \] Ta tính độ dài của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{AQ}| = \sqrt{(-2)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 49 + 16} = \sqrt{69} \] \[ |\overrightarrow{BQ}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Ta tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AQ} \cdot \overrightarrow{BQ}}{|\overrightarrow{AQ}| |\overrightarrow{BQ}|} = \frac{20}{\sqrt{69} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{20}{2\sqrt{345}} = \frac{10}{\sqrt{345}} \] Ta tính góc \(\theta\): \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{10}{\sqrt{345}} \right) \approx 53,13^\circ \] Điều này đúng. Đáp án: d. Số đo (đơn vị độ) góc giữa hai mái của cái lều (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là \(53,13^\circ\). Câu 15: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một tứ diện đều, tất cả các cạnh đều có cùng độ dài và các góc giữa các cạnh cũng giống nhau. Ta có: - Tứ diện đều MNPQ có cạnh MN = MP = MQ = NP = NQ = PQ = 4. Ta cần tính $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$. Trong một tứ diện đều, góc giữa hai vectơ từ một đỉnh đến hai đỉnh khác là 60°. Do đó, góc giữa $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ là 60°. Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP} = |\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{MP}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó, $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Áp dụng vào bài toán: \[ |\overrightarrow{MN}| = 4, \quad |\overrightarrow{MP}| = 4, \quad \theta = 60^\circ \] Biết rằng $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP} = 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \] Vậy $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP} = 8$. Câu 16: Để tính \( m - n + p \), chúng ta cần tìm tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{5a} + \overrightarrow{b} \). Bước 1: Tìm tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{5a} \). \[ \overrightarrow{a} = (1; 2; 3) \] \[ \overrightarrow{5a} = 5 \cdot \overrightarrow{a} = 5 \cdot (1; 2; 3) = (5 \cdot 1; 5 \cdot 2; 5 \cdot 3) = (5; 10; 15) \] Bước 2: Tìm tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{5a} + \overrightarrow{b} \). \[ \overrightarrow{b} = (3; -1; 0) \] \[ \overrightarrow{5a} + \overrightarrow{b} = (5; 10; 15) + (3; -1; 0) = (5 + 3; 10 - 1; 15 + 0) = (8; 9; 15) \] Bước 3: Xác định \( m, n, p \). \[ (m; n; p) = (8; 9; 15) \] Bước 4: Tính \( m - n + p \). \[ m - n + p = 8 - 9 + 15 = 14 \] Vậy, \( m - n + p = 14 \). Đáp số: 14 Câu 17: Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số quan sát: Tổng số ngày trong mẫu số liệu là 20 ngày. 2. Xác định vị trí của các tứ phân vị: - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) nằm ở vị trí $\frac{1}{4} \times 20 = 5$. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) nằm ở vị trí $\frac{3}{4} \times 20 = 15$. 3. Xác định khoảng chứa Q1 và Q3: - Khoảng chứa Q1: Từ bảng, ta thấy 3 ngày đầu tiên thuộc khoảng [2,7; 3,0), tiếp theo 6 ngày thuộc khoảng [3,0; 3,3). Vậy Q1 nằm trong khoảng [3,0; 3,3). - Khoảng chứa Q3: Tiếp theo, ta thấy 3 + 6 + 5 = 14 ngày thuộc khoảng [2,7; 3,6). Do đó, Q3 nằm trong khoảng [3,6; 3,9). 4. Tính giá trị của Q1 và Q3: - Q1: - Giới hạn dưới của khoảng chứa Q1 là 3,0. - Số lượng quan sát trong khoảng trước đó là 3. - Số lượng quan sát trong khoảng chứa Q1 là 6. - Chiều rộng của khoảng chứa Q1 là 0,3. - Vị trí của Q1 trong khoảng là: $5 - 3 = 2$. - Q1 = 3,0 + $\frac{2}{6} \times 0,3 = 3,0 + 0,1 = 3,1$. - Q3: - Giới hạn dưới của khoảng chứa Q3 là 3,6. - Số lượng quan sát trong khoảng trước đó là 3 + 6 + 5 = 14. - Số lượng quan sát trong khoảng chứa Q3 là 4. - Chiều rộng của khoảng chứa Q3 là 0,3. - Vị trí của Q3 trong khoảng là: $15 - 14 = 1$. - Q3 = 3,6 + $\frac{1}{4} \times 0,3 = 3,6 + 0,075 = 3,675$. 5. Kết luận: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là từ 3,1 đến 3,675. Đáp số: Khoảng tứ phân vị là [3,1; 3,675]. Câu 18: Đầu tiên, ta cần tìm gia tốc của chất điểm. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc, và vận tốc là đạo hàm của quãng đường. Bước 1: Tìm vận tốc \( v(t) \) \[ v(t) = s'(t) = \left( \frac{1}{6}t^4 - \frac{4}{3}t^3 + 5t^2 - 7 \right)' = \frac{2}{3}t^3 - 4t^2 + 10t \] Bước 2: Tìm gia tốc \( a(t) \) \[ a(t) = v'(t) = \left( \frac{2}{3}t^3 - 4t^2 + 10t \right)' = 2t^2 - 8t + 10 \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của gia tốc \( a(t) \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( a(t) \), ta cần tìm đạo hàm của \( a(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ a'(t) = (2t^2 - 8t + 10)' = 4t - 8 \] \[ 4t - 8 = 0 \Rightarrow t = 2 \] Kiểm tra tính chất của \( a(t) \) tại \( t = 2 \): \[ a''(t) = (4t - 8)' = 4 \] Vì \( a''(t) > 0 \), nên \( t = 2 \) là điểm cực tiểu của \( a(t) \). Bước 4: Tính vận tốc tại thời điểm \( t = 2 \) \[ v(2) = \frac{2}{3}(2)^3 - 4(2)^2 + 10(2) = \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 \cdot 4 + 20 = \frac{16}{3} - 16 + 20 = \frac{16}{3} + 4 = \frac{16}{3} + \frac{12}{3} = \frac{28}{3} \] Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm có gia tốc nhỏ nhất là \( \frac{28}{3} \). Bước 5: Tính \( T = a + 3b \) \[ a = 28, b = 3 \] \[ T = 28 + 3 \cdot 3 = 28 + 9 = 37 \] Đáp số: \( T = 37 \) Câu 19: Để xác định số ngày điều trị của các bệnh nhân ở bệnh viện nào có độ phân tán lớn hơn, ta sẽ tính khoảng biến thiên của mỗi bệnh viện. Bước 1: Xác định khoảng biến thiên của bệnh viện A - Số ngày điều trị nhỏ nhất: [0;5) - Số ngày điều trị lớn nhất: (20;25) Khoảng biến thiên của bệnh viện A: \[ K_A = 25 - 0 = 25 \] Bước 2: Xác định khoảng biến thiên của bệnh viện B - Số ngày điều trị nhỏ nhất: [0;5) - Số ngày điều trị lớn nhất: [15;20) Khoảng biến thiên của bệnh viện B: \[ K_B = 20 - 0 = 20 \] Bước 3: So sánh khoảng biến thiên - Khoảng biến thiên của bệnh viện A: 25 - Khoảng biến thiên của bệnh viện B: 20 Vì \( K_A > K_B \), nên số ngày điều trị của các bệnh nhân ở bệnh viện A có độ phân tán lớn hơn. Kết luận: Số ngày điều trị của các bệnh nhân ở bệnh viện A có độ phân tán lớn hơn. Câu 20: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu Trung bình cộng của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy tổng của tất cả các giá trị nhân với tần suất tương ứng rồi chia cho tổng số lượng mẫu. \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i \cdot f_i}{n} \] Trong đó: - \( m_i \) là giá trị trung tâm của mỗi nhóm. - \( f_i \) là tần suất của mỗi nhóm. - \( n \) là tổng số lượng mẫu. Ta tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [2,7;3,0): \( m_1 = \frac{2,7 + 3,0}{2} = 2,85 \) - Nhóm [3,0;3,3): \( m_2 = \frac{3,0 + 3,3}{2} = 3,15 \) - Nhóm [3,3;3,6): \( m_3 = \frac{3,3 + 3,6}{2} = 3,45 \) - Nhóm [3,6;3,9): \( m_4 = \frac{3,6 + 3,9}{2} = 3,75 \) - Nhóm [3,9;4,2): \( m_5 = \frac{3,9 + 4,2}{2} = 4,05 \) Bây giờ, ta tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(2,85 \times 3) + (3,15 \times 6) + (3,45 \times 5) + (3,75 \times 4) + (4,05 \times 2)}{20} \] \[ \bar{x} = \frac{8,55 + 18,9 + 17,25 + 15 + 8,1}{20} = \frac{77,8}{20} = 3,89 \] 2. Tính phương sai Phương sai của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy tổng của bình phương hiệu giữa mỗi giá trị trung tâm và trung bình cộng, nhân với tần suất tương ứng rồi chia cho tổng số lượng mẫu. \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i \cdot (m_i - \bar{x})^2}{n} \] Ta tính phương sai: \[ s^2 = \frac{(3 \times (2,85 - 3,89)^2) + (6 \times (3,15 - 3,89)^2) + (5 \times (3,45 - 3,89)^2) + (4 \times (3,75 - 3,89)^2) + (2 \times (4,05 - 3,89)^2)}{20} \] \[ s^2 = \frac{(3 \times (-1,04)^2) + (6 \times (-0,74)^2) + (5 \times (-0,44)^2) + (4 \times (-0,14)^2) + (2 \times (0,16)^2)}{20} \] \[ s^2 = \frac{(3 \times 1,0816) + (6 \times 0,5476) + (5 \times 0,1936) + (4 \times 0,0196) + (2 \times 0,0256)}{20} \] \[ s^2 = \frac{3,2448 + 3,2856 + 0,968 + 0,0784 + 0,0512}{20} = \frac{7,628}{20} = 0,3814 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 0,38 (làm tròn đến hàng phần trăm).