Đúng sai Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình). Cho biết A(0; 0; 0) , B(2; 0; 0) D(0;3;0) S(0;0;3) c) Hình chiếu vuông...

Câu 4. a) Tọa độ của điểm C: - Vì ABCD là hình chữ nhật, nên C sẽ có tọa độ là $(2;3;0)$. b) Diện tích của tam giác SCD: - Tính diện tích tam giác SCD bằng công thức diện tích tam giác trong không gian: \[ S_{SCD} = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SC} \right| \] - Tính vectơ $\overrightarrow{SD}$ và $\overrightarrow{SC}$: \[ \overrightarrow{SD} = D - S = (0, 3, 0) - (0, 0, 3) = (0, 3, -3) \] \[ \overrightarrow{SC} = C - S = (2, 3, 0) - (0, 0, 3) = (2, 3, -3) \] - Tính tích vector: \[ \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 3 & -3 \\ 2 & 3 & -3 \end{vmatrix} = i(3 \cdot (-3) - (-3) \cdot 3) - j(0 \cdot (-3) - (-3) \cdot 2) + k(0 \cdot 3 - 3 \cdot 2) \] \[ = i(0) - j(6) + k(-6) = (0, -6, -6) \] - Tính độ dài vector này: \[ \left| \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SC} \right| = \sqrt{0^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] - Diện tích tam giác SCD: \[ S_{SCD} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \] c) Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (SCD): - Phương trình mặt phẳng (SCD) có thể viết dưới dạng: \[ ax + by + cz = d \] - Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SCD) từ tích vector $\overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SC} = (0, -6, -6)$, tức là $(0, -1, -1)$. - Phương trình mặt phẳng (SCD) là: \[ 0x - y - z = d \] - Thay tọa độ của điểm S vào để tìm d: \[ 0 - 0 - 3 = d \Rightarrow d = -3 \] - Phương trình mặt phẳng (SCD) là: \[ -y - z = -3 \Rightarrow y + z = 3 \] - Hình chiếu vuông góc của điểm A(0,0,0) trên mặt phẳng (SCD) là H(0, $\frac{3}{2}$, $\frac{3}{2}$). d) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD): - Vectơ $\overrightarrow{SC} = (2, 3, -3)$. - Mặt phẳng (SBD) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (0, 3, -3)$. - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: \[ \sin \alpha = \frac{\left| \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{SC} \right| \left| \overrightarrow{n} \right|} \] - Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{n} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3) = 0 + 9 + 9 = 18 \] - Độ dài các vectơ: \[ \left| \overrightarrow{SC} \right| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22} \] \[ \left| \overrightarrow{n} \right| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] - Tính $\sin \alpha$: \[ \sin \alpha = \frac{18}{\sqrt{22} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{18}{3\sqrt{44}} = \frac{6}{\sqrt{44}} = \frac{6}{2\sqrt{11}} = \frac{3}{\sqrt{11}} \approx 0.9045 \] - Kết luận: \[ \sin \alpha > \frac{1}{3} \] Đáp án đúng là: a) Tọa độ của điểm C là $(2;3;0)$. b) Diện tích của tam giác SCD bằng $3\sqrt2$. c) Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (SCD) là $H(0;\frac32;\frac32)$. d) Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD), ta có $\sin\alpha>\frac13$.