Giai giup minh voi

Câu 29. Để tính góc giữa hai đường thẳng \( d \) và \( \Delta \) trong không gian, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d \) có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = -2 + t \\ z = 1 \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( d \) là \( \vec{u}_d = (1, 1, 0) \). - Đường thẳng \( \Delta \) có phương trình tham số: \[ \Delta: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2s \\ y = -1 + 2s \\ z = 1 + s \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( \Delta \) là \( \vec{u}_\Delta = (2, 2, 1) \). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_d \cdot \vec{u}_\Delta = (1, 1, 0) \cdot (2, 2, 1) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 2 + 2 + 0 = 4 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_d| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \] \[ |\vec{u}_\Delta| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_d \cdot \vec{u}_\Delta}{|\vec{u}_d| \cdot |\vec{u}_\Delta|} = \frac{4}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] 5. Tính góc giữa hai đường thẳng: \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) \] 6. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: \[ \theta \approx 20.7^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng \( d \) và đường thẳng \( \Delta \) là khoảng \( 20.7^\circ \). Câu 30. Để tìm góc giữa đường ống nước và mặt phẳng nằm ngang (Oyz), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng AB: Vector $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-1); 1 - 1; 3 - 2) = (3; 0; 1) \] 2. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz): Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là $x = 0$. Do đó, vector pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n} = (1; 0; 0)$. 3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vector chỉ phương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng. Ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vector: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{n}|} \] Trong đó: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = 3 \times 1 + 0 \times 0 + 1 \times 0 = 3 \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10} \] \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] Vậy: \[ \cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}} \] \[ \theta = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \] 4. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nằm ngang: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nằm ngang là góc phụ của góc giữa đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng. Do đó: \[ \alpha = 90^\circ - \theta \] \[ \alpha = 90^\circ - \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \] 5. Làm tròn kết quả: Sử dụng máy tính để tính giá trị của $\arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$: \[ \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \approx 36.87^\circ \] Vậy: \[ \alpha \approx 90^\circ - 36.87^\circ = 53.13^\circ \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ \alpha \approx 53^\circ \] Đáp số: Đường ống nước nghiêng khoảng 53 độ so với mặt phẳng nằm ngang. Câu 31. Để tính xác suất để bác Mai bắt được con gà mái, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính xác suất để bác Mai chọn mỗi chuồng: - Xúc xắc có 6 mặt, trong đó các số chấm chia hết cho 3 là 3 và 6. Vậy xác suất để bác Mai chọn chuồng I là: \[ P(\text{chuồng I}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] - Các số chấm không chia hết cho 3 là 1, 2, 4, 5. Vậy xác suất để bác Mai chọn chuồng II là: \[ P(\text{chuồng II}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] 2. Tính xác suất để bác Mai bắt được con gà mái từ mỗi chuồng: - Trong chuồng I có 5 con gà mái và 2 con gà trống, tổng cộng 7 con gà. Xác suất để bác Mai bắt được con gà mái từ chuồng I là: \[ P(\text{gà mái | chuồng I}) = \frac{5}{7} \] - Trong chuồng II có 3 con gà mái và 5 con gà trống, tổng cộng 8 con gà. Xác suất để bác Mai bắt được con gà mái từ chuồng II là: \[ P(\text{gà mái | chuồng II}) = \frac{3}{8} \] 3. Áp dụng công thức xác suất tổng hợp: - Xác suất để bác Mai bắt được con gà mái là tổng của xác suất chọn chuồng I và bắt được gà mái từ chuồng I, và xác suất chọn chuồng II và bắt được gà mái từ chuồng II: \[ P(\text{gà mái}) = P(\text{chuồng I}) \times P(\text{gà mái | chuồng I}) + P(\text{chuồng II}) \times P(\text{gà mái | chuồng II}) \] Thay các giá trị vào: \[ P(\text{gà mái}) = \left( \frac{1}{3} \times \frac{5}{7} \right) + \left( \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} \right) \] Tính toán từng phần: \[ \frac{1}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{5}{21} \] \[ \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \] Cộng lại: \[ P(\text{gà mái}) = \frac{5}{21} + \frac{1}{4} = \frac{20}{84} + \frac{21}{84} = \frac{41}{84} \] 4. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ \frac{41}{84} \approx 0.4881 \approx 0.49 \] Vậy xác suất để bác Mai bắt được con gà mái là khoảng 0.49 hoặc 49%. Câu 32. Gọi A là biến cố "Chọn ra một người có bệnh nền". Gọi B là biến cố "Chọn ra một người có phản ứng phụ sau khi tiêm vaccine". Theo đề bài ta có: P(A) = 0,18; P($\overline{A}$) = 1 - P(A) = 0,82; P(B|A) = 0,35; P(B|$\overline{A}$) = 0,16. Xác suất để người này có bệnh nền là: P(A|B) = $\frac{P(A) \times P(B|A)}{P(A) \times P(B|A) + P(\overline{A}) \times P(B|\overline{A})}$ = $\frac{0,18 \times 0,35}{0,18 \times 0,35 + 0,82 \times 0,16}$ ≈ 0,31 Đáp số: 0,31. Câu 33. Xác suất để người ném bóng lần thứ 2 là Bình có thể xảy ra theo hai trường hợp: - Trường hợp 1: An ném trước và ném trượt, sau đó đến lượt Bình ném. - Trường hợp 2: Bình ném trước và ném trúng, sau đó Bình ném tiếp. Ta tính xác suất của mỗi trường hợp: - Xác suất An ném trước và ném trượt là \(0,5 \times (1 - 0,4) = 0,5 \times 0,6 = 0,3\). - Xác suất Bình ném trước và ném trúng là \(0,5 \times 0,6 = 0,3\). Vậy tổng xác suất để người ném bóng lần thứ 2 là Bình là: \[0,3 + 0,3 = 0,6\] Đáp số: 0,6