Giải dùm em với ạ

Câu 1: Để tìm trọng tâm \( G(x_0; y_0; z_0) \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức trọng tâm của tam giác trong không gian: \[ x_0 = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_0 = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \quad z_0 = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \] Với các tọa độ đã cho: - \( A(3; 3; 2) \) - \( B(-1; 2; 0) \) - \( C(1; 1; -2) \) Ta tính từng thành phần của trọng tâm \( G \): 1. Tọa độ \( x_0 \): \[ x_0 = \frac{3 + (-1) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] 2. Tọa độ \( y_0 \): \[ y_0 = \frac{3 + 2 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] 3. Tọa độ \( z_0 \): \[ z_0 = \frac{2 + 0 + (-2)}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] Vậy trọng tâm \( G \) có tọa độ là \( G(1; 2; 0) \). Bây giờ, ta tính tổng \( x_2 + y_3 + z_0 \): \[ x_2 + y_3 + z_0 = 1 + 2 + 0 = 3 \] Do đó, tổng \( x_2 + y_3 + z_0 \) bằng 3. Vậy đáp án đúng là A. 3. Câu 2: Để tìm tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\), trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các vectơ này. 1. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3; 3 - 2; 2 - 1) = (-4; 1; 1) \] 2. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 3; 4 - 2; -3 - 1) = (-1; 2; -4) \] 3. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\): Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u} = (x_1, y_1, z_1)\) và \(\overrightarrow{v} = (x_2, y_2, z_2)\) được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \] Áp dụng công thức trên cho \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4) \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-4) \] \[ = 4 + 2 - 4 = 2 \] Vậy, tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) là 2. Do đó, đáp án đúng là D. 2. Câu 3: Để xác định hàm số từ bảng biến thiên, ta cần phân tích các thông tin sau: 1. Dấu của đạo hàm \( y' \): - \( y' > 0 \) khi \( x \in (0, 2) \). - \( y' < 0 \) khi \( x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \). 2. Giá trị của hàm số \( y \): - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 0 \) với \( y = -1 \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 2 \) với \( y = 3 \). 3. Giới hạn của hàm số: - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \). - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to -\infty \). Dựa vào các thông tin trên, ta có thể suy ra: - Hàm số có bậc 3 với hệ số của \( x^3 \) âm, vì khi \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \) và khi \( x \to +\infty \), \( y \to -\infty \). - Hàm số có dạng \( y = -x^3 + ax^2 + bx + c \). - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có cực tiểu tại \( x = 0 \) và cực đại tại \( x = 2 \). Điều này phù hợp với hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 1 \). Vậy đáp án đúng là \( A. ~ y = -x^3 + 3x^2 - 1 \). Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần xác định giá trị lớn nhất \( M \) và giá trị nhỏ nhất \( m \) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 1]\) dựa vào đồ thị. 1. Xác định giá trị lớn nhất \( M \): - Quan sát đồ thị trên đoạn \([-1; 1]\), ta thấy điểm cao nhất của đồ thị nằm tại \( x = 0 \) với giá trị \( y = 2 \). - Do đó, giá trị lớn nhất \( M = 2 \). 2. Xác định giá trị nhỏ nhất \( m \): - Quan sát đồ thị trên đoạn \([-1; 1]\), ta thấy điểm thấp nhất của đồ thị nằm tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \) với giá trị \( y = 0 \). - Do đó, giá trị nhỏ nhất \( m = 0 \). 3. Tính \( M + 2m \): - Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức: \[ M + 2m = 2 + 2 \times 0 = 2 \] Vậy, giá trị \( M + 2m \) bằng 2. Đáp án đúng là D. 2. Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) và xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số dựa trên dấu của đạo hàm. Bước 1: Xác định đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) là \( y' = x^2 \). Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm - Đạo hàm \( y' = x^2 \) luôn luôn không âm (vì bình phương của bất kỳ số thực nào cũng không âm). - Do đó, \( y' \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Bước 3: Xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số - Nếu đạo hàm \( y' > 0 \) trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. - Nếu đạo hàm \( y' < 0 \) trên một khoảng thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Vì \( y' = x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), nên hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó. Do đó, đáp án đúng là: D. Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \). Câu 6: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu. Giá trị nhỏ nhất của cân nặng là 250 g. Giá trị lớn nhất của cân nặng là 450 g. Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Khoảng biến thiên = 450 - 250 = 200 g. Vậy đáp án đúng là: D. 200. Câu 7: Để tìm tọa độ của điểm \( A \) trong không gian \( Oxyz \), ta cần phân tích vectơ \(\overrightarrow{OA}\). Cho \(\overrightarrow{OA} = -7 + 5\overrightarrow{k}\). Vectơ \(\overrightarrow{OA}\) có dạng tổng quát là \((x, y, z)\), trong đó \(x\), \(y\), \(z\) là các thành phần theo các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) tương ứng. Từ biểu thức \(\overrightarrow{OA} = -7 + 5\overrightarrow{k}\), ta có thể suy ra: - Thành phần theo trục \(Ox\) là \(-1\) (vì không có thành phần nào theo trục \(Ox\) trong biểu thức, nên mặc định là \(-1\)). - Thành phần theo trục \(Oy\) là \(0\) (vì không có thành phần nào theo trục \(Oy\) trong biểu thức). - Thành phần theo trục \(Oz\) là \(5\) (vì có \(5\overrightarrow{k}\)). Vậy tọa độ của điểm \( A \) là \((-1, 0, 5)\). Do đó, đáp án đúng là \( A. (-1, 0, 5) \). Câu 8: Để xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\), ta cần so sánh phương trình của mặt cầu đã cho với phương trình tổng quát của mặt cầu trong không gian Oxyz. Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Trong đó \((a, b, c)\) là tọa độ tâm của mặt cầu và \(R\) là bán kính. Phương trình của mặt cầu \((S)\) đã cho là: \[ (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 = 25 \] So sánh với phương trình tổng quát, ta có: - Tọa độ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) là \((a, b, c) = (2, 3, -1)\). - Bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\) là \(\sqrt{25} = 5\). Vậy, tọa độ tâm của mặt cầu \((S)\) là \(I(2, 3, -1)\) và bán kính \(R\) là 5.