Giúp mình với!

Câu 16: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để xác định tính chất tăng giảm của hàm số \( f(x) \). Bước 1: Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = x^2 - 4x \] \[ f'(x) = x(x - 4) \] Bước 2: Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ x(x - 4) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 4 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng: - Khi \( x < 0 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng) - Khi \( 0 < x < 4 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số giảm) - Khi \( x > 4 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng) Bước 4: Kiểm tra các khẳng định: A. \( f(4) > f(0) \) - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \), hàm số giảm, do đó \( f(4) < f(0) \). Khẳng định này sai. B. \( f(5) > f(6) \) - Từ \( x = 4 \) đến \( x = +\infty \), hàm số tăng, do đó \( f(5) < f(6) \). Khẳng định này sai. C. \( f(0) > f(2) \) - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \), hàm số giảm, do đó \( f(0) > f(2) \). Khẳng định này đúng. D. \( f(4) > f(2) \) - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \), hàm số giảm, do đó \( f(4) < f(2) \). Khẳng định này sai. Vậy khẳng định đúng là: C. \( f(0) > f(2) \) Câu 17: Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị đã cho hay không. 1. Kiểm tra các đường tiệm cận: - Đường tiệm cận đứng: Đây là giá trị của \( x \) làm mẫu số bằng 0. - Đường tiệm cận ngang: Đây là giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng. 2. Kiểm tra các giá trị đặc biệt: - Giá trị của hàm số tại \( x = 0 \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số: A. \( y = \frac{2x + 1}{x - 2} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = 2 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 2 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( \frac{2x + 1}{x - 2} \approx \frac{2x}{x} = 2 \)) - Giá trị tại \( x = 0 \): \( y = \frac{2(0) + 1}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \) B. \( y = \frac{x + 2}{x - 2} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = 2 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( \frac{x + 2}{x - 2} \approx \frac{x}{x} = 1 \)) - Giá trị tại \( x = 0 \): \( y = \frac{0 + 2}{0 - 2} = \frac{2}{-2} = -1 \) C. \( y = \frac{x + 2}{x + 1} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = -1 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( \frac{x + 2}{x + 1} \approx \frac{x}{x} = 1 \)) - Giá trị tại \( x = 0 \): \( y = \frac{0 + 2}{0 + 1} = \frac{2}{1} = 2 \) D. \( y = \frac{x - 1}{x + 1} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = -1 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( \frac{x - 1}{x + 1} \approx \frac{x}{x} = 1 \)) - Giá trị tại \( x = 0 \): \( y = \frac{0 - 1}{0 + 1} = \frac{-1}{1} = -1 \) So sánh các kết quả trên với đồ thị đã cho, ta thấy rằng đồ thị của hàm số \( y = \frac{x + 2}{x - 2} \) có đường tiệm cận đứng là \( x = 2 \), đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \), và giá trị tại \( x = 0 \) là \( y = -1 \). Điều này khớp với các đặc điểm của đồ thị đã cho. Vậy đáp án đúng là: B. \( y = \frac{x + 2}{x - 2} \) Câu 18: Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD là hình chóp đều, tức là đáy ABCD là hình vuông và đỉnh S thẳng đứng trên tâm O của đáy ABCD. Do đó, ta có: - $\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OS}$ - $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DB}$ Tuy nhiên, vì đáy ABCD là hình vuông, nên $\overrightarrow{BC}$ nằm trong mặt phẳng đáy và vuông góc với đường cao SO từ đỉnh S xuống đáy. Do đó, $\overrightarrow{BC}$ cũng vuông góc với $\overrightarrow{AS}$. Ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OS}) \cdot \overrightarrow{BC} \] Vì $\overrightarrow{OS}$ vuông góc với mặt phẳng đáy, do đó $\overrightarrow{OS}$ vuông góc với $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{OS} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] Tiếp theo, ta xét $\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC}$. Vì O là tâm của hình vuông ABCD, $\overrightarrow{AO}$ nằm trong mặt phẳng đáy và vuông góc với $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] Do đó: \[ \overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 + 0 = 0 \] Vậy đáp án đúng là: B. 0 Đáp số: B. 0 Câu 19: Để ba điểm \( A(5; -1; 2) \), \( B(1; -3; 7) \) và \( M(x; y; 1) \) thẳng hàng, vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AM} \) phải cùng phương. Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 5, -3 + 1, 7 - 2) = (-4, -2, 5) \] Tính vectơ \( \overrightarrow{AM} \): \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x - 5, y + 1, 1 - 2) = (x - 5, y + 1, -1) \] Để hai vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AM} \) cùng phương, tồn tại số thực \( k \) sao cho: \[ \overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 5 = -4k \\ y + 1 = -2k \\ -1 = 5k \end{cases} \] Giải phương trình thứ ba để tìm \( k \): \[ -1 = 5k \implies k = -\frac{1}{5} \] Thay \( k = -\frac{1}{5} \) vào hai phương trình còn lại: \[ x - 5 = -4 \left(-\frac{1}{5}\right) \implies x - 5 = \frac{4}{5} \implies x = 5 + \frac{4}{5} = \frac{25}{5} + \frac{4}{5} = \frac{29}{5} \] \[ y + 1 = -2 \left(-\frac{1}{5}\right) \implies y + 1 = \frac{2}{5} \implies y = -1 + \frac{2}{5} = -\frac{5}{5} + \frac{2}{5} = -\frac{3}{5} \] Vậy giá trị của \( x \) và \( y \) để ba điểm \( A \), \( B \), \( M \) thẳng hàng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{29}{5} \\ y = -\frac{3}{5} \end{array} \right. \] Đáp án đúng là: C. \( \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{29}{5} \\ y = -\frac{3}{5} \end{array} \right. \) Câu 20: Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \] Trong đó: - $\overrightarrow u = (3; 0; 1)$ - $\overrightarrow v = (2; 1; 0)$ Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \] \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6 + 0 + 0 \] \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6 \] Vậy đáp án đúng là: B. $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6.$ Câu 21: Để lập luận từng bước, chúng ta sẽ thực hiện các công việc sau: 1. Xác định các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ từ các tọa độ của các điểm A, B và C. 2. Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hai vectơ này để xác định chúng có tạo thành một mặt phẳng hay không. 3. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Bước 1: Xác định các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ - Điểm $A(1;3;-2)$ - Điểm $B(3;4;-5)$ - Điểm $C(2;0;0)$ Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 4 - 3, -5 + 2) = (2, 1, -3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (2 - 1, 0 - 3, 0 + 2) = (1, -3, 2) \] Bước 2: Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ tạo thành một mặt phẳng nếu chúng độc lập tuyến tính. Để kiểm tra điều này, ta tính tích vô hướng của chúng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) + (-3) \cdot 2 = 2 - 3 - 6 = -7 \] Vì tích vô hướng không bằng 0, nên hai vectơ này độc lập tuyến tính và tạo thành một mặt phẳng. Bước 3: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3)) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-3) - 1 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(2 - 9) - \mathbf{j}(4 + 3) + \mathbf{k}(-6 - 1) \] \[ = -7\mathbf{i} - 7\mathbf{j} - 7\mathbf{k} \] \[ = (-7, -7, -7) \] Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1, 3, -2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (-7, -7, -7)$ là: \[ -7(x - 1) - 7(y - 3) - 7(z + 2) = 0 \] Chia cả phương trình cho -7: \[ x - 1 + y - 3 + z + 2 = 0 \] Sắp xếp lại: \[ x + y + z - 2 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ x + y + z = 2 \]