Giải chi tiết và chính xác ạ

Câu 12: Để tìm tọa độ điểm B sao cho A đối xứng với B qua M, ta sử dụng công thức trung điểm. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, do đó ta có: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của A và M vào công thức trên: \[ (2, 1, -2) = \left( \frac{-1 + x_B}{2}, \frac{5 + y_B}{2}, \frac{3 + z_B}{2} \right) \] Ta giải từng phương trình một: 1. Với tọa độ x: \[ 2 = \frac{-1 + x_B}{2} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 4 = -1 + x_B \] Cộng thêm 1 vào cả hai vế: \[ x_B = 5 \] 2. Với tọa độ y: \[ 1 = \frac{5 + y_B}{2} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 2 = 5 + y_B \] Trừ 5 từ cả hai vế: \[ y_B = -3 \] 3. Với tọa độ z: \[ -2 = \frac{3 + z_B}{2} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ -4 = 3 + z_B \] Trừ 3 từ cả hai vế: \[ z_B = -7 \] Vậy tọa độ của điểm B là \( B(5, -3, -7) \). Đáp án đúng là: D. \( B(5, -3, -7) \). Câu 13: a) Tập xác định của hàm số là $R\setminus\{-1\}.$ Điều này đúng vì mẫu số của hàm số là $x + 1$, và nó không được phép bằng 0. b) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 2.$ Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 4x + 7}{x + 1} = x + 3 + \frac{4}{x + 1} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{4}{x + 1} \to 0$. Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị là $y = x + 3$. c) Tâm đối xứng của đồ thị (C) có tọa độ là $(-1; 1).$ Để kiểm tra tâm đối xứng, ta thay $x = -1$ vào hàm số: \[ y = \frac{(-1)^2 + 4(-1) + 7}{-1 + 1} = \frac{1 - 4 + 7}{0} = \frac{4}{0} \] Tuy nhiên, do mẫu số bằng 0, nên hàm số không xác định tại điểm này. Do đó, tâm đối xứng không tồn tại. d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng $y = mx + 2024$ thì $m = -\frac{1}{2}.$ Để tìm các điểm cực trị, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2x + 4)(x + 1) - (x^2 + 4x + 7)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 6x + 4 - x^2 - 4x - 7}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} \] Đặt $y' = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -3 \] Thay lại vào hàm số để tìm tọa độ các điểm cực trị: \[ y(1) = \frac{1^2 + 4 \cdot 1 + 7}{1 + 1} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ y(-3) = \frac{(-3)^2 + 4 \cdot (-3) + 7}{-3 + 1} = \frac{9 - 12 + 7}{-2} = \frac{4}{-2} = -2 \] Vậy hai điểm cực trị là $(1, 6)$ và $(-3, -2)$. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình: \[ y - 6 = \frac{-2 - 6}{-3 - 1}(x - 1) \] \[ y - 6 = 2(x - 1) \] \[ y = 2x + 4 \] Đường thẳng này vuông góc với đường thẳng $y = mx + 2024$, do đó: \[ 2 \cdot m = -1 \implies m = -\frac{1}{2} \] Đáp án: d) $m = -\frac{1}{2}$. Câu 14: a) [NB] Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty;-1).$ - Lập luận: Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số $y = f(x)$ tăng trên khoảng $(-\infty, -1)$. Do đó, khẳng định này là đúng. b) [TH] Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;6]$ là $f(I).$ - Lập luận: Từ bảng biến thiên, ta thấy trên đoạn $[0;6]$, giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ là $f(6)$. Do đó, khẳng định này là sai vì giá trị lớn nhất là $f(6)$, không phải $f(I)$. c) [TH] Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng 2. - Lập luận: Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có một đường tiệm cận đứng tại $x = -1$ (vì hàm số không xác định tại điểm này và giới hạn hai bên vô cùng). Đồng thời, hàm số có một đường tiệm cận ngang tại $y = 0$ (vì khi $x \to \pm \infty$, $f(x) \to 0$). Do đó, tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 2. Khẳng định này là đúng. d) [TH] Phương trình $f'(2x + 1) = 0$ nhận $x = 1$ làm nghiệm. - Lập luận: Ta cần kiểm tra giá trị của $f'(2x + 1)$ khi $x = 1$. Thay $x = 1$ vào phương trình, ta có: \[ f'(2 \cdot 1 + 1) = f'(3) \] Từ bảng biến thiên, ta thấy $f'(3) = 0$. Do đó, phương trình $f'(2x + 1) = 0$ nhận $x = 1$ làm nghiệm. Khẳng định này là đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 15: Câu hỏi: Một chiếc trực thăng hạ cánh xuống một khu vực sa mạc rộng lớn. Khu vực này có hình dạng là một hình vuông có cạnh dài 10 km. Biết rằng, trong khu vực này có một điểm đặc biệt nằm ngẫu nhiên ở đâu đó trong hình vuông. Hãy tính xác suất để chiếc trực thăng hạ cánh xuống đúng điểm đặc biệt này. Câu trả lời: Để tính xác suất để chiếc trực thăng hạ cánh xuống đúng điểm đặc biệt này, chúng ta cần biết diện tích của khu vực hạ cánh và diện tích của điểm đặc biệt. Diện tích của khu vực hạ cánh (hình vuông có cạnh dài 10 km): \[ S_{\text{hình vuông}} = 10 \times 10 = 100 \text{ km}^2 \] Diện tích của điểm đặc biệt là 0 (vì điểm là một vị trí duy nhất, không có diện tích). Xác suất để chiếc trực thăng hạ cánh xuống đúng điểm đặc biệt này là: \[ P = \frac{\text{Diện tích của điểm đặc biệt}}{\text{Diện tích của khu vực hạ cánh}} = \frac{0}{100} = 0 \] Vậy xác suất để chiếc trực thăng hạ cánh xuống đúng điểm đặc biệt này là 0. Đáp số: 0