Helppppppp tôi Câu 2: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và $AC=4.$ Biết SA vuông góc,với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{12}5.$ Thể tích khối chóp S.ABC bằng,bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định diện tích đáy ABC.
2. Tìm chiều cao SA của chóp S.ABC.
3. Tính thể tích của chóp S.ABC.

Bước 1: Xác định diện tích đáy ABC.
- Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại C, do đó AC = BC = 4.
- Diện tích đáy ABC là:
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 $$

Bước 2: Tìm chiều cao SA của chóp S.ABC.
- Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là $\frac{12}{5}$.
- Ta cần tìm thể tích của chóp S.ABC, nhưng trước tiên cần tìm chiều cao SA.

Bước 3: Tính thể tích của chóp S.ABC.
- Thể tích của chóp S.ABC là:
$$ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA $$

Ta cần tìm SA. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

- Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (SBC). Ta có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là AH = $\frac{12}{5}$.
- Diện tích tam giác SBC là:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC $$
- Diện tích tam giác SAB là:
$$ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times SA \times AB $$

Ta biết rằng:
$$ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times 8 \times SA $$

Cũng có thể tính thể tích chóp S.ABC qua tam giác SBC:
$$ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times AH $$

Do đó:
$$ \frac{1}{3} \times 8 \times SA = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times \frac{12}{5} $$

Từ đây, ta có:
$$ 8 \times SA = S_{SBC} \times \frac{12}{5} $$

Biết rằng:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC $$

Vì SB = SA (do SA vuông góc với đáy và SB nằm trong mặt phẳng (SBC)), ta có:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SA \times 4 = 2 \times SA $$

Thay vào phương trình:
$$ 8 \times SA = 2 \times SA \times \frac{12}{5} $$

Giải phương trình này:
$$ 8 \times SA = \frac{24}{5} \times SA $$
$$ 8 = \frac{24}{5} $$
$$ SA = 5 $$

Bây giờ, ta có thể tính thể tích chóp S.ABC:
$$ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times 8 \times 5 = \frac{40}{3} $$

Vậy thể tích của chóp S.ABC là:
$$ \boxed{\frac{40}{3}} $$