giải chi tiết ạ ĐỀ KSCL LỚP 12 TRƯỜNG THPT NGU TEEN II,a) Phương trình mặt phẳng trung trực (Q) của đoạn thẳng AB là: $x+2y-3z-2=0.$,b) Phương trình đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và $(Q):~\frac{x+2}1=\frac y1=\frac z1.$,c) Nếu $M\in(P)$ sao cho $MA=MB$ thì $M\in\Delta.$,d) Điểm $C\in(P)$ có hoành độ nguyên sao cho $CA=CB=\sqrt{52}.$ Khi đó phương trình của mặ,cầu tâm C và đi qua điểm A có phương trình là $(x+1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=52.$,Câu 4: Cho hàm số $f(x)=\sin2x+\cos^22x.$,$a.~f(\frac\pi2)=1,~f(0)=-1.$,b. Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=2\cos2x-2\sin4x.$,c. Trên đoạn $[0;\frac\pi2]$ phương trình $f^\prime(x)=0$ có 2 nghiệm.,d. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;\frac\pi2]$ bằng $\frac94.$

Question

Accepted Answer

Câu 4:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết.

Phần a:
Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x = \frac{\pi}{2}$ và $x = 0$:
- $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) + \cos^2(\pi) = 0 + (-1)^2 = 1$
- $f(0) = \sin(2 \cdot 0) + \cos^2(2 \cdot 0) = \sin(0) + \cos^2(0) = 0 + 1^2 = 1$

Như vậy, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ và $f(0) = 1$. Phần a sai vì $f(0) = 1$, không phải $-1$.

Phần b:
Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin(2x) + \cos^2(2x)$:
- $f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(2x)] + \frac{d}{dx}[\cos^2(2x)]$
- $\frac{d}{dx}[\sin(2x)] = 2\cos(2x)$
- $\frac{d}{dx}[\cos^2(2x)] = 2\cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}[\cos(2x)] = 2\cos(2x) \cdot (-2\sin(2x)) = -4\cos(2x)\sin(2x)$

Do đó:
$$ f'(x) = 2\cos(2x) - 4\cos(2x)\sin(2x) = 2\cos(2x)(1 - 2\sin(2x)) $$

Phần b đúng vì đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 2\cos(2x) - 4\cos(2x)\sin(2x)$.

Phần c:
Xét phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$:
$$ 2\cos(2x)(1 - 2\sin(2x)) = 0 $$
- $\cos(2x) = 0$ hoặc $1 - 2\sin(2x) = 0$
- $\cos(2x) = 0$ suy ra $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$
- $1 - 2\sin(2x) = 0 \Rightarrow \sin(2x) = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ hoặc $2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + k\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$

Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$, các nghiệm là $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{12}$ và $x = \frac{5\pi}{12}$. Như vậy, phương trình $f'(x) = 0$ có 3 nghiệm trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$. Phần c sai vì phương trình có 3 nghiệm, không phải 2 nghiệm.

Phần d:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$:
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và các điểm cực trị:
  - $f(0) = 1$
  - $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$
  - $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1$
  - $f\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$
  - $f\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \cos^2\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

Giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{5}{4}$ và giá trị nhỏ nhất là $1$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là:
$$ \frac{5}{4} + 1 = \frac{5}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9}{4} $$

Phần d đúng vì tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ bằng $\frac{9}{4}$.

Kết luận:
- Phần a sai.
- Phần b đúng.
- Phần c sai.
- Phần d đúng.