Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường thẳng song song BC cắt AB và AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AF. Nối DF, vẽ tia Ax//BC và cắt DF tại H. a) CMR: Tam giác AEF cân b) CMR: AH là t...

a. Do $\displaystyle EF\parallel BC,\ E\in BC,\ F\in AC$ nên theo định lý Talet trong $\displaystyle \vartriangle ABC$ có
$\displaystyle \frac{AE}{AB} =\frac{AF}{AC}$
Do $\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại A nên $\displaystyle AB=AC$
Do đó $\displaystyle AE=AF\Rightarrow \vartriangle AEF\ $cân tại A
b. Do $\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại A nên $\displaystyle \widehat{ABC} =\widehat{ACB}$
Ta có: $\displaystyle Ax\parallel BC$ nên $\displaystyle \widehat{DAx} =\widehat{ABC}$ (2 góc ở vị trí đồng vị)
Lại có $\displaystyle Ax\parallel BC$ nên $\displaystyle \widehat{xAF} =\widehat{ACB}$ (2 góc ở vị trí so le trong)
Mà $\displaystyle \widehat{ABC} =\widehat{ACB} \Rightarrow \widehat{xAF} =\widehat{DAx}$
$\displaystyle \Rightarrow Ax\ $là tia phân giác $\displaystyle \widehat{DAF}$ hay AH là tia phân giác $\displaystyle \widehat{DAF}$
c.$ $Do $\displaystyle AF=AD\Rightarrow \vartriangle ADF$ cân tại A
Do $\displaystyle \vartriangle ADF$ cân tại A có AH là tia phân giác $\displaystyle \widehat{DAF}$ nên đồng thời là đường cao ứng với cạnh DF
$\displaystyle \Rightarrow AH\perp DF$ (1)
Do $\displaystyle Ax\parallel BC$ mà $\displaystyle EF\parallel BC$
$\displaystyle \Rightarrow Ax\parallel EF$ hay $\displaystyle AH\parallel EF$ (2)
Từ (1) và (2) $\displaystyle \Rightarrow EF\perp DF$ tại F
Xét $\displaystyle \vartriangle DEF$ có $\displaystyle EF\perp DF$ tại F nên $\displaystyle \vartriangle DEF$ là tam giác vuông tại F