Cho tam giác ABC vuông tại A trung tuyến AM vuông góc với trung tuyến BN và cạnh AC=6. độ dài đoạn BN bằng bao nhiêu

Trước tiên, ta cần vẽ hình và đánh dấu các thông tin đã biết vào hình vẽ. 1. Ta có tam giác ABC vuông tại A, tức là góc A = 90°. 2. Trung tuyến AM vuông góc với trung tuyến BN, tức là góc AMN = 90°. 3. Cạnh AC = 6. Bây giờ, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và trung tuyến để giải bài toán. - Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên M là trung điểm của BC. Do đó, BM = MC. - Vì BN là trung tuyến của tam giác ABC, nên N là trung điểm của AC. Do đó, AN = NC = 3 (vì AC = 6). Ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và trung tuyến để tìm độ dài đoạn BN. - Ta có tam giác ABM vuông tại A và AM vuông góc với BN. Do đó, tam giác ABM và tam giác AMN là các tam giác vuông chung đỉnh M. - Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AM chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân tại M. Ta sẽ tính độ dài đoạn BN bằng cách sử dụng tính chất của tam giác vuông và trung tuyến. - Ta có tam giác ABN vuông tại A và AN = 3. - Vì BN là trung tuyến của tam giác ABC, nên BN cũng là đường cao của tam giác ABC. Do đó, BN chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân tại N. Ta sẽ tính độ dài đoạn BN bằng cách sử dụng công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác vuông. - Độ dài trung tuyến của tam giác vuông là nửa độ dài cạnh huyền. Do đó, độ dài đoạn BN là: \[ BN = \sqrt{AB^2 + AN^2} \] Ta sẽ tính độ dài đoạn AB bằng cách sử dụng tính chất của tam giác vuông. - Ta có tam giác ABM vuông tại A và AM là trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, độ dài đoạn AB là: \[ AB = \sqrt{AM^2 - BM^2} \] Ta sẽ tính độ dài đoạn AM bằng cách sử dụng tính chất của tam giác vuông. - Ta có tam giác ABM vuông tại A và AM là trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, độ dài đoạn AM là: \[ AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} \] Ta sẽ tính độ dài đoạn BM bằng cách sử dụng tính chất của tam giác vuông. - Ta có tam giác ABM vuông tại A và AM là trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, độ dài đoạn BM là: \[ BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} \] Cuối cùng, ta sẽ tính độ dài đoạn BN bằng cách sử dụng công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác vuông. - Độ dài đoạn BN là: \[ BN = \sqrt{AB^2 + AN^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] Vậy độ dài đoạn BN là: \[ \boxed{3\sqrt{5}} \]