Giúp mình với! a) Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ bằng nhựa Polypropylen có,nắp đậy với dung tích $1000~cm^3.$ Tìm bán kính nắp đậy của thùng sơn để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên,vật liệu nhất.

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Gọi $r$ là bán kính nắp đậy của thùng sơn ($r > 0$, cm).

Gọi $h$ là chiều cao của thùng sơn ($h > 0$, cm).

Thể tích thùng sơn là:

$V = \pi r^2 h = 1000 \implies h = \frac{1000}{\pi r^2}$

Diện tích toàn phần của thùng sơn là:

$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

$= 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2}$

$= 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$

$= 2\pi r^2 + \frac{1000}{r} + \frac{1000}{r}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương:

$S \ge 3\sqrt[3]{2\pi r^2 \cdot \frac{1000}{r} \cdot \frac{1000}{r}}$

$S \ge 3\sqrt[3]{2000000\pi}$

Diện tích toàn phần nhỏ nhất khi:

$2\pi r^2 = \frac{1000}{r}$

$\implies r^3 = \frac{500}{\pi}$

$\implies r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5,42$ cm

Vậy bán kính nắp đậy cần tìm là $r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$ cm.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần biết các công thức liên quan đến hình trụ.

**Thông tin đã cho:**
- Dung tích của thùng sơn: $ V = 1000 \, cm^3 $
- Dung tích hình trụ được tính bằng công thức: 
  $$
  V = \pi r^2 h
  $$
  với $ r $ là bán kính đáy (cũng là bán kính nắp đậy) và $ h $ là chiều cao của hình trụ.

**Bước 1: Tìm chiều cao $ h $ theo bán kính $ r $**
Từ công thức dung tích, ta có:
$$
1000 = \pi r^2 h
$$
Suy ra:
$$
h = \frac{1000}{\pi r^2}
$$

**Bước 2: Tính diện tích bề mặt của thùng sơn**
Diện tích bề mặt $ S $ của hình trụ (bao gồm cả nắp đậy) được tính bằng:
$$
S = 2\pi r^2 + 2\pi rh
$$
Trong đó, $ 2\pi r^2 $ là diện tích của hai đáy (một đáy và nắp đậy), còn $ 2\pi rh $ là diện tích phần thân của hình trụ.

Thay $ h $ vào công thức diện tích bề mặt:
$$
S = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{1000}{\pi r^2} \right)
$$
$$
S = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}
$$

**Bước 3: Tìm giá trị của $ r $ để tiết kiệm nguyên vật liệu**
Để tìm giá trị tối thiểu của diện tích bề mặt $ S $, ta cần tính đạo hàm và giải phương trình:
$$
\frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{2000}{r^2}
$$
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
$$
4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0
$$
Suy ra:
$$
4\pi r^3 = 2000
$$
$$
r^3 = \frac{2000}{4\pi} = \frac{500}{\pi}
$$
$$
r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}
$$

**Bước 4: Tính giá trị của $ r $**
Tính giá trị $ r $ bằng cách sử dụng máy tính:
$$
r \approx \sqrt[3]{\frac{500}{3.14}} \approx \sqrt[3]{159.154943} \approx 5.43 \, cm
$$

**Kết luận:**
Bán kính nắp đậy của thùng sơn để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là khoảng $ 5.43 \, cm $.

Trang Đỗ · Answer

Gọi bán kính thùng sơn là x (x>0) (cm)

Thể tích thùng sơn là

h. S đáy = h. π. x² (cm³)

Suy ra: h = 1000 / (π. x²)

S toàn phần của thùng sơn là

2π. x²+ 2π. x.h

= 2π. x²+ 2π. x.1000 / (π. x²)

= 2π. x²+ 2000 / x

= 2. (πx²+ 1000/ x)

Để tốn ít nguyên liệu nhất thì (πx²+ 1000/x) nhỏ nhất

Ta có: πx²+ 1000/x = πx²+ 500/x + 500/x

Áp dụng cô si 3 số ta có:

πx²+ 500/x + 500/x ≥ 3. ∛ (πx². 500/x . 500/x ) = 3 ∛(250000π)

Dấu “ = ” xảy ra khi πx² = 500/x suy ra: x = ∛ (500/π)

Vậy bán kính thùng sơn cần tìm là ∛ (500/π) cm

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Gọi r là bán kính nắp đậy, h là chiều cao thùng sơn (r, h > 0; cm)

Để tiết kiệm nguyên vật liệu thì diện tích toàn phần của thùng sơn phải nhỏ nhất:

$$S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh$$

$$=2\pi r^2+2\pi r.\frac{1000}{\pi r^2}$$

$$=2\pi r^2+\frac{2000}{r}$$

$$=2\pi r^2+\frac{1000}{r}+\frac{1000}{r}$$

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương:

$$S_{tp}\ge3\sqrt{2\pi r^2.\frac{1000}{r}.\frac{1000}{r}}=3\sqrt{2000000\pi}$$

Dấu "=" xảy ra khi: $$2\pi r^2=\frac{1000}{r}$$ hay $$2\pi r^3=1000$$ hay $$r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}\approx5,42\left(\operatorname{cm}\right)$$

Vậy bán kính nắp đậy là $$r\approx5,42\left(\operatorname{cm}\right)$$.

Huycindy · Answer

$a)$ Gọi bán kính nắp đậy (bán kính đáy) của thùng sơn là $r(r > 0, cm)$ và chiều cao là $h(h > 0,cm)$
Dung tích của thùng sơn là:
$V = \pi r^2 h = 1000$
$h = \dfrac{1000}{\pi r^2}$
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của thùng sơn phải nhỏ nhất.
Diện tích toàn phần của thùng sơn hình trụ có nắp đậy là:
$S_{tp} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
$S_{tp} = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{1000}{\pi r^2}$
$S_{tp} = 2\pi r^2 + \dfrac{2000}{r}$
Xét hàm số $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2000}{r}$ với $r > 0$.
Đạo hàm của hàm số:
$S&#x27;(r) = 4\pi r - \dfrac{2000}{r^2}$
Cho $S&#x27;(r) = 0$:
$4\pi r - \dfrac{2000}{r^2} = 0$
$4\pi r^3 = 2000$
$r^3 = \dfrac{500}{\pi}$
$r = \sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}$
Bảng biến thiên hoặc khảo sát cho thấy hàm số $S(r)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $r = \sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\approx 5,42$.
Vậy bán kính nắp đậy của thùng sơn để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là $r =5,42 (cm)$.

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Thể tích:

V = pi.r^2.h = 1000

=> h = 1000/(pi.r^2)

Diện tích toàn phần của thùng sơn có nắp đậy:

S = 2pi.r^2 + 2pi.r.h

Thay h vào:

S = 2pi.r^2 + 2000/r

Xét:

S'(r) = 4pi.r - 2000/r^2

Cho S'(r) = 0:

4pi.r - 2000/r^2 = 0

=> 4pi.r^3 = 2000

=> r^3 = 500/pi

=> r = căn bậc 3(500/pi)

=> r ≈ 5,42 cm

Vậy bán kính đáy của thùng sơn để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là:

r = căn bậc 3(500/pi) ≈ 5,42 cm