Nhanh các bạn ơi

Bài 1. Để chứng tỏ rằng MNPQ là hình chữ nhật và tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật: - Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên MN, NP, PQ, QM là các đường trung bình của các tam giác ABD, BCD, CDA, DAB. - Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có: - MN // BD và MN = $\frac{1}{2}$ BD - NP // AC và NP = $\frac{1}{2}$ AC - PQ // BD và PQ = $\frac{1}{2}$ BD - QM // AC và QM = $\frac{1}{2}$ AC - Từ đây, ta thấy rằng MN // PQ và NP // QM, do đó MNPQ là hình bình hành. - Vì ABCD là hình thoi, nên AC và BD vuông góc với nhau tại tâm O của hình thoi. Do đó, các đường trung bình MN, NP, PQ, QM cũng vuông góc với nhau tại tâm O của hình thoi. - Vậy MNPQ là hình chữ nhật. 2. Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ: - Vì MNPQ là hình chữ nhật, nên đường tròn ngoại tiếp của nó sẽ có đường kính bằng chéo của hình chữ nhật này. - Chéo của hình chữ nhật MNPQ là đoạn thẳng nối giữa hai đỉnh đối diện, tức là đoạn thẳng nối giữa M và Q hoặc N và P. - Ta có MQ = $\frac{1}{2}$ AC và NP = $\frac{1}{2}$ BD. - Vì ABCD là hình thoi, nên AC và BD là các đường chéo của hình thoi và chúng cắt nhau tại tâm O, chia đôi nhau. - Do đó, đường kính của đường tròn ngoại tiếp MNPQ là $\sqrt{(MQ)^2 + (NP)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}AC\right)^2 + \left(\frac{1}{2}BD\right)^2}$. - Vì ABCD là hình thoi, nên AC và BD là các đường chéo của hình thoi và chúng cắt nhau tại tâm O, chia đôi nhau. - Do đó, AC = BD = 3√2 cm (vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 3 cm). - Vậy đường kính của đường tròn ngoại tiếp MNPQ là $\sqrt{\left(\frac{1}{2} \times 3\sqrt{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2} \times 3\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9 \times 2}{4} + \frac{9 \times 2}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4} + \frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3$ cm. - Bán kính của đường tròn ngoại tiếp MNPQ là $\frac{3}{2}$ cm. Vậy MNPQ là hình chữ nhật và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó là $\frac{3}{2}$ cm. Bài 2. a) Ta có $\widehat{CEK}=\widehat{CMK}=90^\circ$ nên bốn điểm C, E, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính CK. b) Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{BKC}$ (cùng chắn cung BC) và $\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta AKC$ (góc-góc). Từ đó ta có tỉ lệ thức $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AK}$ hay $AB\times AK=AC\times AB.$ c) Ta có $\widehat{ECK}=\widehat{EBK}$ (cùng chắn cung EK) và $\widehat{ECK}=\widehat{EDB}$ (cùng phụ với $\widehat{CED}$) nên $\widehat{EDB}=\widehat{EBK}.$ Từ đó ta có $DE//BK.$ Ta có $\widehat{DME}=\widehat{DCE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE) và $\widehat{DCE}=\widehat{DBE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE) nên $\widehat{DME}=\widehat{DBE}.$ Mà $\widehat{DBE}=\widehat{EDM}$ (so le trong) nên $\widehat{DME}=\widehat{EDM}.$ Từ đó tam giác MDE cân tại M. Bài 3. Để giải quyết bài toán này, ta cần kiểm tra xem liệu có thể tìm được một điểm trong khu vườn hình tam giác đều sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mọi điểm khác trong khu vườn đều nhỏ hơn hoặc bằng 50m. Bước 1: Xác định tâm của hình tam giác đều. - Tâm của hình tam giác đều là điểm giao của ba đường trung tuyến, đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp hình tam giác đều. Bước 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình tam giác đều. - Công thức tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp hình tam giác đều cạnh a là: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] - Với cạnh a = 80 m, ta có: \[ R = \frac{80}{\sqrt{3}} \approx 46.19 \text{ m} \] Bước 3: So sánh bán kính đường tròn ngoại tiếp với tầm phát sóng tối đa của bộ phát sóng wifi. - Bán kính đường tròn ngoại tiếp là khoảng 46.19 m, nhỏ hơn 50 m. Bước 4: Kết luận. - Vì bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ hơn 50 m, nên nếu đặt bộ phát sóng wifi tại tâm của hình tam giác đều, thì mọi điểm trong khu vườn đều nằm trong phạm vi phát sóng của bộ phát sóng wifi. Vậy, có thể tìm được vị trí để đặt bộ phát sóng như vậy.