Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 17: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tiếp tuyến và góc nội tiếp. 1. Tính chất tiếp tuyến: - Tiếp tuyến vẽ từ một điểm ngoài đường tròn tạo với bán kính tại tiếp điểm một góc vuông. Do đó, $\widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90^\circ$. 2. Tính góc ở tâm: - Vì $\widehat{AMB} = 35^\circ$, ta có thể tính góc ở tâm $\widehat{AOB}$ bằng cách sử dụng tính chất tổng các góc trong tam giác: \[ \widehat{AOB} = 180^\circ - \widehat{OAM} - \widehat{OBM} - \widehat{AMB} \] \[ \widehat{AOB} = 180^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 35^\circ \] 3. Số đo của cung nhỏ AB: - Số đo của cung nhỏ AB bằng số đo của góc ở tâm $\widehat{AOB}$, tức là $35^\circ$. 4. Số đo của cung lớn AB: - Số đo của cung lớn AB bằng $360^\circ$ trừ đi số đo của cung nhỏ AB: \[ \text{Số đo của cung lớn AB} = 360^\circ - 35^\circ = 325^\circ \] Nhưng trong các đáp án đã cho, không có số đo 325°. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong đề bài hoặc các đáp án. Tuy nhiên, dựa trên các tính chất và phép tính đã thực hiện, số đo của cung lớn AB là 325°. Vậy đáp án đúng là: D.$~325^0.$ Câu 18: Để tính diện tích hình quạt tạo bởi hai bán kính OA, OB và cung nhỏ AB trên đường tròn (O; 3 cm) với số đo cung AB là 300°, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích toàn bộ hình tròn: Diện tích hình tròn là: \[ S_{\text{hình tròn}} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \text{ (cm}^2\text{)} \] 2. Tính diện tích hình quạt: Số đo cung AB là 300°, tức là chiếm $\frac{300}{360} = \frac{5}{6}$ diện tích toàn bộ hình tròn. Do đó, diện tích hình quạt là: \[ S_{\text{hình quạt}} = \frac{5}{6} \times 9\pi = \frac{45\pi}{6} = \frac{15\pi}{2} \text{ (cm}^2\text{)} \] Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{15\pi}{2} \text{ (cm}^2\text{)}$. Câu 19: Để tìm giá trị của biểu thức \(3a^2 - b^2\) khi cặp số \((a; b)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{array}lx+3y=5\\x+y=1\end{array}\right.\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm giá trị của \(a\) và \(b\). Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 3y = 5 \\ x + y = 1 \end{array} \right. \] Bước 2: Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất để tìm giá trị của \(y\): \[ (x + 3y) - (x + y) = 5 - 1 \\ 2y = 4 \\ y = 2 \] Bước 3: Thay giá trị của \(y\) vào phương trình thứ hai để tìm giá trị của \(x\): \[ x + 2 = 1 \\ x = 1 - 2 \\ x = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((-1; 2)\). Do đó, \(a = -1\) và \(b = 2\). Bước 4: Thay giá trị của \(a\) và \(b\) vào biểu thức \(3a^2 - b^2\): \[ 3a^2 - b^2 = 3(-1)^2 - 2^2 \\ = 3(1) - 4 \\ = 3 - 4 \\ = -1 \] Vậy giá trị của biểu thức \(3a^2 - b^2\) là \(-1\). Đáp án đúng là: B. -1. Câu 20: Để hệ phương trình vô nghiệm, ta cần tìm giá trị của \(a\) sao cho hai phương trình song song với nhau, tức là tỉ số của các hệ số tương ứng của \(x\) và \(y\) phải bằng nhau nhưng không bằng tỉ số của các hằng số tự do. Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 1 \\ 2x - ay = 3 \end{array} \right. \] Để hệ phương trình vô nghiệm, ta cần: \[ \frac{1}{2} = \frac{2}{-a} \neq \frac{1}{3} \] Từ \(\frac{1}{2} = \frac{2}{-a}\), ta có: \[ 1 \cdot (-a) = 2 \cdot 2 \\ -a = 4 \\ a = -4 \] Vậy hệ phương trình vô nghiệm khi \(a = -4\). Đáp án đúng là: C. -4. Câu 21: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc tâm. 1. Xác định góc nội tiếp và góc tâm: - Góc nội tiếp $\widehat{ACB}$ nhìn thấy cung $\overset{\frown}{AB}$. - Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung nó nhìn thấy. 2. Tính số đo cung $\overset{\frown}{AB}$: - Vì $\widehat{ACB} = 110^\circ$, nên số đo của cung $\overset{\frown}{AB}$ là: \[ \overset{\frown}{AB} = 2 \times 110^\circ = 220^\circ \] 3. Xác định góc tâm $\overset{\frown}{BOA}$: - Góc tâm $\overset{\frown}{BOA}$ nhìn thấy cung $\overset{\frown}{AB}$, do đó số đo của góc tâm $\overset{\frown}{BOA}$ cũng bằng số đo của cung $\overset{\frown}{AB}$. 4. Kết luận: - Số đo của $\overset{\frown}{BOA}$ là $220^\circ$. Vậy đáp án đúng là: C. $220^\circ$. Câu 22: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích của tam giác đều và mối liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp và cạnh của tam giác đều. Bước 1: Xác định mối liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp và cạnh của tam giác đều. - Trong tam giác đều, bán kính đường tròn nội tiếp (r) liên hệ với cạnh (a) theo công thức: \( r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \). Bước 2: Thay giá trị bán kính vào công thức để tìm cạnh của tam giác đều. - Ta có \( r = 1 \) cm, do đó: \[ 1 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] \[ a \sqrt{3} = 6 \] \[ a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} \text{ cm} \] Bước 3: Tính diện tích của tam giác đều. - Công thức tính diện tích của tam giác đều là \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \). - Thay giá trị cạnh \( a = 2 \sqrt{3} \) vào công thức: \[ S = \frac{(2 \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 3 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích tam giác ABC là \( 3 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \). Đáp án đúng là: A. \( 3 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \). Câu 23: Căn bậc hai số học của 144 là số không âm mà bình phương của nó bằng 144. Ta có: \[ 12 \times 12 = 144 \] Do đó, căn bậc hai số học của 144 là 12. Đáp án đúng là: D. 12. Câu 24: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện của biểu thức: - Với \( x < 2 \), ta có \( 2 - x > 0 \). 2. Rút gọn biểu thức: - Ta có biểu thức \(\sqrt{(2-x)^2} + x - 3\). - Vì \( 2 - x > 0 \), nên \(\sqrt{(2-x)^2} = 2 - x\). 3. Thay vào biểu thức: - Biểu thức trở thành: \( 2 - x + x - 3 \). 4. Rút gọn biểu thức: - \( 2 - x + x - 3 = 2 - 3 = -1 \). Vậy giá trị của biểu thức là \(-1\). Đáp án đúng là: A. -1. Câu 25: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính độ dài cung nhỏ $\overset\frown{AB}$ trên đường tròn $(O;R)$ với góc tâm $\widehat{AOB} = 90^\circ$. Bước 1: Xác định độ dài cung nhỏ $\overset\frown{AB}$ dựa trên công thức độ dài cung của một đường tròn. Công thức độ dài cung của một đường tròn là: \[ l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R \] Trong đó: - \( l \) là độ dài cung. - \( \theta \) là góc tâm (ở đây là \( 90^\circ \)). - \( R \) là bán kính của đường tròn. Bước 2: Thay các giá trị vào công thức. \[ l = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi R \] Bước 3: Rút gọn biểu thức. \[ l = \frac{1}{4} \times 2\pi R \] \[ l = \frac{2\pi R}{4} \] \[ l = \frac{\pi R}{2} \] Vậy độ dài cung nhỏ $\overset\frown{AB}$ là $\frac{\pi R}{2}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{\pi R}{2}$. Câu 26: Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx-y=1\\x+2y=7\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải phương trình đầu tiên để tìm giá trị của $x$ theo $y$: \[ x = y + 1 \] Bước 2: Thay giá trị của $x$ vào phương trình thứ hai: \[ (y + 1) + 2y = 7 \] \[ y + 1 + 2y = 7 \] \[ 3y + 1 = 7 \] \[ 3y = 6 \] \[ y = 2 \] Bước 3: Thay giá trị của $y$ vào phương trình $x = y + 1$ để tìm giá trị của $x$: \[ x = 2 + 1 \] \[ x = 3 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (3, 2)$. Bây giờ, ta cần tính giá trị của biểu thức $x_2 + y_3$. Ta thay giá trị của $x$ và $y$ vào biểu thức này: \[ x_2 + y_3 = 3_2 + 2_3 \] Tuy nhiên, trong ngữ cảnh này, ta hiểu rằng $x_2$ và $y_3$ chỉ là cách viết tắt cho $x$ và $y$, do đó: \[ x_2 + y_3 = 3 + 2 = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức $x_2 + y_3$ là 5. Đáp án đúng là: C. 5. Câu 27: Để tính $\sin\widehat{ABC}$, ta cần biết độ dài cạnh đối diện với góc $\widehat{ABC}$ và độ dài cạnh huyền của tam giác ABC. Bước 1: Xác định các cạnh của tam giác ABC: - Cạnh huyền BC = 4 cm - Cạnh AC = 2 cm - Cạnh AB chưa biết, ta sẽ tính bằng định lý Pythagoras. Bước 2: Áp dụng định lý Pythagoras để tính độ dài cạnh AB: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] \[ AB^2 + 2^2 = 4^2 \] \[ AB^2 + 4 = 16 \] \[ AB^2 = 12 \] \[ AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] Bước 3: Xác định cạnh đối diện và cạnh huyền: - Cạnh đối diện với góc $\widehat{ABC}$ là AC = 2 cm - Cạnh huyền là BC = 4 cm Bước 4: Tính $\sin\widehat{ABC}$: \[ \sin\widehat{ABC} = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{1}{2}$ Câu 28: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác cân và đường tròn ngoại tiếp. 1. Xác định góc ở đỉnh và góc ở đáy: - Tam giác ABC cân tại B, do đó $\widehat{BAC} = \widehat{BCA}$. - Tổng các góc trong tam giác là $180^\circ$, nên: \[ \widehat{BAC} + \widehat{BCA} + \widehat{ABC} = 180^\circ \] Thay $\widehat{ABC} = 120^\circ$ vào: \[ \widehat{BAC} + \widehat{BCA} + 120^\circ = 180^\circ \] \[ \widehat{BAC} + \widehat{BCA} = 60^\circ \] Vì tam giác cân, nên: \[ \widehat{BAC} = \widehat{BCA} = 30^\circ \] 2. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp: - Trong tam giác cân, đường tròn ngoại tiếp sẽ đi qua đỉnh B và tâm O của đường tròn nằm trên đường cao hạ từ B xuống đáy AC. - Đường cao hạ từ B xuống đáy AC cũng là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$, chia góc này thành hai góc $60^\circ$. - Do đó, tam giác AOB và COB đều là tam giác cân tại O với góc ở đỉnh là $60^\circ$, tức là tam giác đều. 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp: - Trong tam giác đều, cạnh AB (hay BC) bằng cạnh AO (hay BO), tức là bán kính R của đường tròn ngoại tiếp. - Vì tam giác ABC cân tại B và $\widehat{ABC} = 120^\circ$, ta có: \[ R = AB = 12 \text{ cm} \] Vậy, bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 12 cm. Đáp án đúng là: D. 12 cm. Câu 29: Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx+y=3\\mx-y=3\end{array}\right.$ và tìm giá trị của $m$ sao cho nghiệm $(x_1; y_1)$ thỏa mãn $x_1 = 2y_1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải phương trình đầu tiên để tìm $y$ theo $x$: \[ y = 3 - x \] Bước 2: Thay $y = 3 - x$ vào phương trình thứ hai: \[ mx - (3 - x) = 3 \] \[ mx - 3 + x = 3 \] \[ (m + 1)x = 6 \] \[ x = \frac{6}{m + 1} \] Bước 3: Thay $x = \frac{6}{m + 1}$ vào phương trình $y = 3 - x$ để tìm $y$: \[ y = 3 - \frac{6}{m + 1} \] \[ y = \frac{3(m + 1) - 6}{m + 1} \] \[ y = \frac{3m + 3 - 6}{m + 1} \] \[ y = \frac{3m - 3}{m + 1} \] \[ y = \frac{3(m - 1)}{m + 1} \] Bước 4: Ta biết rằng $x_1 = 2y_1$. Do đó: \[ \frac{6}{m + 1} = 2 \cdot \frac{3(m - 1)}{m + 1} \] \[ \frac{6}{m + 1} = \frac{6(m - 1)}{m + 1} \] Bước 5: Bỏ mẫu số chung: \[ 6 = 6(m - 1) \] \[ 6 = 6m - 6 \] \[ 6 + 6 = 6m \] \[ 12 = 6m \] \[ m = 2 \] Vậy giá trị của $m$ là $m = 2$. Đáp án đúng là B. Câu 30: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác vuông, đường tròn và tiếp tuyến. 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Tam giác ABC vuông tại A, với AC = 20 cm. - Đường tròn đường kính AB cắt BC tại M (M không trùng với B). - Tiếp tuyến tại M của đường tròn đường kính AB cắt AC tại I. 2. Áp dụng tính chất của đường tròn và tiếp tuyến: - Vì M nằm trên đường tròn đường kính AB, nên AM là bán kính của đường tròn. - Tiếp tuyến tại M vuông góc với bán kính AM, tức là MI vuông góc với AM. 3. Xác định các tam giác vuông: - Tam giác AMI vuông tại M. - Tam giác ABC vuông tại A. 4. Áp dụng tính chất tam giác đồng dạng: - Tam giác AMI và tam giác ABC có góc A chung và góc MIA = góc BAC (cả hai đều là góc vuông). - Do đó, tam giác AMI đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ lệ $\frac{AM}{AB} = \frac{AI}{AC}$. 5. Tìm độ dài AI: - Ta biết AC = 20 cm. - Vì AM là bán kính của đường tròn đường kính AB, nên AM = $\frac{AB}{2}$. - Gọi độ dài AB là x, thì AM = $\frac{x}{2}$. - Từ tính chất đồng dạng, ta có $\frac{\frac{x}{2}}{x} = \frac{AI}{20}$. - Điều này dẫn đến $\frac{1}{2} = \frac{AI}{20}$. - Giải phương trình này, ta tìm được AI = 10 cm. Vậy độ dài đoạn AI là 10 cm. Đáp án đúng là: C. 10 cm.