Giúp mình với!

Ví dụ 1 a) \( x^2 - 2x + m = 0 \) Để giải và biện luận phương trình này, ta cần tìm các giá trị của \( m \) sao cho phương trình có nghiệm thực. Phương trình \( x^2 - 2x + m = 0 \) là phương trình bậc hai, có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = m \). Ta tính delta (\( \Delta \)): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m \] Phương trình có nghiệm thực khi \( \Delta \geq 0 \): \[ 4 - 4m \geq 0 \] \[ 4 \geq 4m \] \[ 1 \geq m \] \[ m \leq 1 \] Vậy phương trình \( x^2 - 2x + m = 0 \) có nghiệm thực khi \( m \leq 1 \). b) \( mx^2 - x + 1 = 0 \) Để giải và biện luận phương trình này, ta cần tìm các giá trị của \( m \) sao cho phương trình có nghiệm thực. Phương trình \( mx^2 - x + 1 = 0 \) là phương trình bậc hai, có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = m \), \( b = -1 \), và \( c = 1 \). Ta tính delta (\( \Delta \)): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot m \cdot 1 = 1 - 4m \] Phương trình có nghiệm thực khi \( \Delta \geq 0 \): \[ 1 - 4m \geq 0 \] \[ 1 \geq 4m \] \[ \frac{1}{4} \geq m \] \[ m \leq \frac{1}{4} \] Vậy phương trình \( mx^2 - x + 1 = 0 \) có nghiệm thực khi \( m \leq \frac{1}{4} \). Đáp số: a) Phương trình \( x^2 - 2x + m = 0 \) có nghiệm thực khi \( m \leq 1 \). b) Phương trình \( mx^2 - x + 1 = 0 \) có nghiệm thực khi \( m \leq \frac{1}{4} \). Bài 1. a) \( x^2 - x - m = 0 \) Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong phương trình \( x^2 - x - m = 0 \), ta có: - \( a = 1 \) - \( b = -1 \) - \( c = -m \) Áp dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4m}}{2} \] Phương trình có nghiệm khi \( 1 + 4m \geq 0 \), tức là \( m \geq -\frac{1}{4} \). - Nếu \( m < -\frac{1}{4} \), phương trình vô nghiệm. - Nếu \( m = -\frac{1}{4} \), phương trình có nghiệm kép: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{1}{2} \] - Nếu \( m > -\frac{1}{4} \), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 + 4m}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{1 + 4m}}{2} \] b) \( mx^2 - x + 3 = 0 \) Để giải phương trình này, ta cũng sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong phương trình \( mx^2 - x + 3 = 0 \), ta có: - \( a = m \) - \( b = -1 \) - \( c = 3 \) Áp dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot m \cdot 3}}{2 \cdot m} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12m}}{2m} \] Phương trình có nghiệm khi \( 1 - 12m \geq 0 \), tức là \( m \leq \frac{1}{12} \). - Nếu \( m > \frac{1}{12} \), phương trình vô nghiệm. - Nếu \( m = \frac{1}{12} \), phương trình có nghiệm kép: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot \frac{1}{12}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 \] - Nếu \( m < \frac{1}{12} \) và \( m \neq 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 12m}}{2m}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{1 - 12m}}{2m} \] - Nếu \( m = 0 \), phương trình trở thành: \[ -x + 3 = 0 \] \[ x = 3 \] Tóm lại: - Nếu \( m > \frac{1}{12} \), phương trình vô nghiệm. - Nếu \( m = \frac{1}{12} \), phương trình có nghiệm kép \( x = 6 \). - Nếu \( 0 < m < \frac{1}{12} \), phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 12m}}{2m} \) và \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{1 - 12m}}{2m} \). - Nếu \( m = 0 \), phương trình có nghiệm \( x = 3 \). - Nếu \( m < 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 12m}}{2m} \) và \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{1 - 12m}}{2m} \). Ví dụ 1 Để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai $3x^2 - 8x - 11 = 0$, ta sử dụng công thức Viète. Công thức Viète cho biết: - Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ là $-\frac{b}{a}$. - Tích các nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ là $\frac{c}{a}$. Trong phương trình $3x^2 - 8x - 11 = 0$, ta có: - $a = 3$ - $b = -8$ - $c = -11$ Tổng các nghiệm: \[ -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{3} = \frac{8}{3} \] Tích các nghiệm: \[ \frac{c}{a} = \frac{-11}{3} \] Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $\frac{8}{3}$ và tích các nghiệm của phương trình là $-\frac{11}{3}$. Ví dụ 2 Theo định lý Vi-et, ta có: $x_{1}+x_{2}=3$ $x_{1}.x_{2}=-5$ Ta có: $A=2x_{1}x_{2}+3(x_{1}+x_{2})$ $=2\times (-5)+3\times 3$ $=-10+9$ $=-1$ Ví dụ 3 Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình bậc hai $5x^2-7x-5=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$, ta có: $x_1+x_2=\frac{7}{5}$ và $x_1x_2=-1$ Biểu thức $B=7x_1+7x_2-10x_1x_2$ có thể viết lại thành: $B=7(x_1+x_2)-10x_1x_2$ Thay các giá trị đã biết vào biểu thức trên, ta có: $B=7\times \frac{7}{5}-10\times (-1)$ $B=\frac{49}{5}+10$ $B=\frac{99}{5}$ Vậy giá trị của biểu thức $B$ là $\frac{99}{5}$. Ví dụ 4 Để tính giá trị của biểu thức \( C = x_1^2 + x_2^2 \) theo \( m \), ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai đã cho là: \[ x^2 - 2x + m - 1 = 0 \] Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = m - 1 \] Biểu thức \( C = x_1^2 + x_2^2 \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ C = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 \] Thay các giá trị từ định lý Viète vào biểu thức trên: \[ C = 2^2 - 2(m - 1) \] \[ C = 4 - 2(m - 1) \] \[ C = 4 - 2m + 2 \] \[ C = 6 - 2m \] Vậy giá trị của biểu thức \( C \) theo \( m \) là: \[ C = 6 - 2m \] Bài 1. Để tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình, ta sử dụng công thức Viète. Công thức Viète cho biết nếu phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), thì: - Tổng các nghiệm \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) - Tích các nghiệm \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\) Ta sẽ áp dụng công thức này vào từng phương trình: a) \(x^2 - 2x - 5 = 0\) - Tổng các nghiệm: \(x_1 + x_2 = -\frac{-2}{1} = 2\) - Tích các nghiệm: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-5}{1} = -5\) b) \(-5x^2 + 3x + 7 = 0\) - Tổng các nghiệm: \(x_1 + x_2 = -\frac{3}{-5} = \frac{3}{5}\) - Tích các nghiệm: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{7}{-5} = -\frac{7}{5}\) c) \(5x^2 - 7x - 3 = 0\) - Tổng các nghiệm: \(x_1 + x_2 = -\frac{-7}{5} = \frac{7}{5}\) - Tích các nghiệm: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}\) d) \(\sqrt{2}x^2 - 10x - 2 = 0\) - Tổng các nghiệm: \(x_1 + x_2 = -\frac{-10}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\) - Tích các nghiệm: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}\) Tóm lại, kết quả là: a) Tổng các nghiệm: 2, Tích các nghiệm: -5 b) Tổng các nghiệm: \(\frac{3}{5}\), Tích các nghiệm: \(-\frac{7}{5}\) c) Tổng các nghiệm: \(\frac{7}{5}\), Tích các nghiệm: \(-\frac{3}{5}\) d) Tổng các nghiệm: \(5\sqrt{2}\), Tích các nghiệm: \(-\sqrt{2}\) Bài 3. a) \( x^2 - 5x - 7 = 0 \) Tổng các nghiệm: \( S = 5 \) Tích các nghiệm: \( P = -7 \) b) \( -x^2 - 3x + 12 = 0 \) Tổng các nghiệm: \( S = 3 \) Tích các nghiệm: \( P = -12 \) c) \( \sqrt{2}x^2 - 4x - 8 = 0 \) Tổng các nghiệm: \( S = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \) Tích các nghiệm: \( P = \frac{-8}{\sqrt{2}} = -4\sqrt{2} \) d) \( 6x^2 - 5x = 2 \) Tổng các nghiệm: \( S = \frac{5}{6} \) Tích các nghiệm: \( P = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \) Bài 4. Phương trình $x^2-2x-8=0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Theo định lý Vi-et ta có: $x_1+x_2=2$ $x_1x_2=-8$ a) $A=(x_1+x_2)-5x_1x_2=2-5\times (-8)=42$ b) $B=x_1x_2-3(x_1+x_2)=-8-3\times 2=-14$ c) $C=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{2}{-8}=-\frac{1}{4}$ d) $D=\frac{3(x_1+x_2)}{x_1x_2+(x_1+x_2)}=\frac{3\times 2}{-8+2}=-1$ Bài 5. Theo định lý Vi-et ta có: $x_{1}+x_{2}=7$ $x_{1}.x_{2}=-10$ a) Ta có: $A=2x_{1}+2x_{2}-7x_{1}.x_{2}$ $=2(x_{1}+x_{2})-7x_{1}.x_{2}$ $=2\times 7-7\times (-10)=84$ b) Ta có: $B=x^{2}_{1}+x^{2}_{2}-x_{1}.x_{2}$ $=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}.x_{2}$ $=7^{2}-3\times (-10)=89$ c) Ta có: $C=x_{1}.x_{2}-5x_{1}-5x_{2}$ $=x_{1}.x_{2}-5(x_{1}+x_{2})$ $=-10-5\times 7=-45$ d) Ta có: $D=x^{2}_{1}.x^{2}_{2}-3x_{1}.x_{2}$ $=(x_{1}.x_{2})^{2}-3x_{1}.x_{2}$ $=(-10)^{2}-3\times (-10)=130$ Bài 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai và các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm. Phương trình đã cho là: \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \] Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -1 \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của các biểu thức theo yêu cầu: a) \( A = x_1^2 + x_2^2 \) Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Thay các giá trị vào: \[ x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6 \] Vậy: \[ A = 6 \] b) \( B = x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 \) Ta biết rằng: \[ x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2) \] Thay các giá trị vào: \[ x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = (-1)(2) = -2 \] Vậy: \[ B = -2 \] c) \( C = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \) Ta biết rằng: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} \] Thay các giá trị vào: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{2}{-1} = -2 \] Vậy: \[ C = -2 \] d) \( D = \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} \) Ta biết rằng: \[ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1 x_2} \] Từ phần a), ta đã biết: \[ x_1^2 + x_2^2 = 6 \] Vậy: \[ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{6}{-1} = -6 \] Vậy: \[ D = -6 \] Đáp số: \[ A = 6 \] \[ B = -2 \] \[ C = -2 \] \[ D = -6 \]