Ví dụ 1
a)
Để giải và biện luận phương trình này, ta cần tìm các giá trị của sao cho phương trình có nghiệm thực.
Phương trình là phương trình bậc hai, có dạng với , , và .
Ta tính delta ():
Phương trình có nghiệm thực khi :
Vậy phương trình có nghiệm thực khi .
b)
Để giải và biện luận phương trình này, ta cần tìm các giá trị của sao cho phương trình có nghiệm thực.
Phương trình là phương trình bậc hai, có dạng với , , và .
Ta tính delta ():
Phương trình có nghiệm thực khi :
Vậy phương trình có nghiệm thực khi .
Đáp số:
a) Phương trình có nghiệm thực khi .
b) Phương trình có nghiệm thực khi .
Bài 1.
a)
Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Trong phương trình , ta có:
-
-
-
Áp dụng công thức nghiệm:
Phương trình có nghiệm khi , tức là .
- Nếu , phương trình vô nghiệm.
- Nếu , phương trình có nghiệm kép:
- Nếu , phương trình có hai nghiệm phân biệt:
b)
Để giải phương trình này, ta cũng sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Trong phương trình , ta có:
-
-
-
Áp dụng công thức nghiệm:
Phương trình có nghiệm khi , tức là .
- Nếu , phương trình vô nghiệm.
- Nếu , phương trình có nghiệm kép:
- Nếu và , phương trình có hai nghiệm phân biệt:
- Nếu , phương trình trở thành:
Tóm lại:
- Nếu , phương trình vô nghiệm.
- Nếu , phương trình có nghiệm kép .
- Nếu , phương trình có hai nghiệm phân biệt và .
- Nếu , phương trình có nghiệm .
- Nếu , phương trình có hai nghiệm phân biệt và .
Ví dụ 1
Để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai , ta sử dụng công thức Viète.
Công thức Viète cho biết:
- Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai là .
- Tích các nghiệm của phương trình bậc hai là .
Trong phương trình , ta có:
-
-
-
Tổng các nghiệm:
Tích các nghiệm:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là và tích các nghiệm của phương trình là .
Ví dụ 2
Theo định lý Vi-et, ta có:
Ta có:
Ví dụ 3
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình bậc hai có hai nghiệm , ta có:
và
Biểu thức có thể viết lại thành:
Thay các giá trị đã biết vào biểu thức trên, ta có:
Vậy giá trị của biểu thức là .
Ví dụ 4
Để tính giá trị của biểu thức theo , ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương trình bậc hai đã cho là:
Theo định lý Viète, ta có:
Biểu thức có thể được viết lại dưới dạng:
Thay các giá trị từ định lý Viète vào biểu thức trên:
Vậy giá trị của biểu thức theo là:
Bài 1.
Để tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình, ta sử dụng công thức Viète. Công thức Viète cho biết nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm và , thì:
- Tổng các nghiệm
- Tích các nghiệm
Ta sẽ áp dụng công thức này vào từng phương trình:
a)
- Tổng các nghiệm:
- Tích các nghiệm:
b)
- Tổng các nghiệm:
- Tích các nghiệm:
c)
- Tổng các nghiệm:
- Tích các nghiệm:
d)
- Tổng các nghiệm:
- Tích các nghiệm:
Tóm lại, kết quả là:
a) Tổng các nghiệm: 2, Tích các nghiệm: -5
b) Tổng các nghiệm: , Tích các nghiệm:
c) Tổng các nghiệm: , Tích các nghiệm:
d) Tổng các nghiệm: , Tích các nghiệm:
Bài 3.
a)
Tổng các nghiệm:
Tích các nghiệm:
b)
Tổng các nghiệm:
Tích các nghiệm:
c)
Tổng các nghiệm:
Tích các nghiệm:
d)
Tổng các nghiệm:
Tích các nghiệm:
Bài 4.
Phương trình có hai nghiệm và . Theo định lý Vi-et ta có:
a)
b)
c)
d)
Bài 5.
Theo định lý Vi-et ta có:
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Bài 6.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai và các công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm.
Phương trình đã cho là:
Theo định lý Viète, ta có:
Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của các biểu thức theo yêu cầu:
a)
Ta biết rằng:
Thay các giá trị vào:
Vậy:
b)
Ta biết rằng:
Thay các giá trị vào:
Vậy:
c)
Ta biết rằng:
Thay các giá trị vào:
Vậy:
d)
Ta biết rằng:
Từ phần a), ta đã biết:
Vậy:
Vậy:
Đáp số: