Đăng ký học gia sư
Tất cả
Toán Học
Vật Lý
Hóa Học
Tiếng Anh
Ngữ Văn
Sinh Học
Địa Lý
GDCD
GDĐP
Tin Học
Công Nghệ
Nhạc Họa
KHTN
Sử & Địa
Khác
10 giờ trước
Bài 14: Cho A là tổng các bình phương của 111 số tự nhiên liên tiếp nào đó. Chứng minh rằng A không phải là số chính phương
0
Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
- Luôn có GIẢI THÍCH các bước giải
- Không copy câu trả lời của Timi
- Không sao chép trên mạng
- Không spam câu trả lời để nhận điểm
- Spam sẽ bị khóa tài khoản
10 giờ trước
0 
9 giờ trước
giả sử
0 
10 giờ trước
Để chứng minh rằng tổng các bình phương của 111 số tự nhiên liên tiếp không phải là số chính phương, ta hãy xem xét tổng các bình phương của 111 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số \( k \).
Giả sử các số tự nhiên liên tiếp đó là \( k, k+1, k+2, ..., k+110 \).
Tổng các bình phương của các số này được tính là:
\[
a = k^2 + (k+1)^2 + (k+2)^2 + \dots + (k+110)^2
\]
Chúng ta có thể biểu diễn tổng này thành dạng dễ làm việc hơn:
\[
a = \sum_{i=0}^{110} (k+i)^2
\]
Khai triển và thu gọn biểu thức:
\[
a = \sum_{i=0}^{110} (k^2 + 2ki + i^2) = 111k^2 + 2k \sum_{i=0}^{110} i + \sum_{i=0}^{110} i^2
\]
Ta có các công thức sau:
\[
\sum_{i=0}^{110} i = \frac{110 \times 111}{2} = 6105
\]
\[
\sum_{i=0}^{110} i^2 = \frac{110 \times 111 \times 221}{6} = 449635
\]
Do đó:
\[
a = 111k^2 + 2k \times 6105 + 449635 = 111k^2 + 12210k + 449635
\]
Giả sử \( a \) là số chính phương, tức là tồn tại số nguyên \( m \) sao cho:
\[
m^2 = 111k^2 + 12210k + 449635
\]
Phương trình trên là một phương trình bậc hai của \( k \). Để chứng minh \( a \) không phải là số chính phương, ta cần chỉ ra rằng phương trình này không có nghiệm nguyên \( k \).
Để điều này xảy ra, \(\Delta\) của phương trình bậc hai này phải không phải là số chính phương. Ta tính \(\Delta\) như sau:
\[
\Delta = 12210^2 - 4 \times 111 \times 449635 = 148624100 - 19984860 = 128639240
\]
Ta cần kiểm tra xem \(\Delta\) có phải là số chính phương hay không.
Kiểm tra căn bậc hai của \(\Delta\):
\[
\sqrt{128639240} \approx 11342.8125
\]
Số này không phải là số nguyên, do đó \(\Delta\) không phải là số chính phương. Vì vậy, phương trình bậc hai ban đầu không có nghiệm nguyên, và điều này có nghĩa là tổng các bình phương của 111 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.
Do đó, ta đã chứng minh rằng tổng các bình phương của 111 số tự nhiên liên tiếp không phải là số chính phương.
0 Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
Top thành viên trả lời
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.