Cuu e vs a

Câu 16: a) Ta có: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x - 1) = 1 - 1 = 0 \] Vậy $\lim_{x \to 1} f(x) = 0$, không phải là 3. b) Ta có: \[ \lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} x^3 = 1^3 = 1 \] Vậy $\lim_{x \to 1} g(x) = 1$. c) Ta có: \[ \lim_{x \to 1} [3f(x) - g(x)] = \lim_{x \to 1} [3(x - 1) - x^3] = 3(1 - 1) - 1^3 = 3 \cdot 0 - 1 = -1 \] Vậy $\lim_{x \to 1} [3f(x) - g(x)] = -1$. d) Ta có: \[ \lim_{x \to 1} \frac{[f(x)]^2}{g(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{x^3} = \frac{(1 - 1)^2}{1^3} = \frac{0^2}{1} = 0 \] Vậy $\lim_{x \to 1} \frac{[f(x)]^2}{g(x)} = 0$, không phải là 1. Đáp án đúng là: a) SAI b) ĐÚNG c) ĐÚNG d) SAI Câu 17: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, đoạn gần đỉnh gấp đôi đoạn gần cạnh đáy. 1. Tìm tọa độ của các trọng tâm: - Trọng tâm \( G_1 \) của tam giác BCD: \[ G_1 = \left( \frac{x_B + x_C + x_D}{3}, \frac{y_B + y_C + y_D}{3}, \frac{z_B + z_C + z_D}{3} \right) \] - Trọng tâm \( G_2 \) của tam giác ACD: \[ G_2 = \left( \frac{x_A + x_C + x_D}{3}, \frac{y_A + y_C + y_D}{3}, \frac{z_A + z_C + z_D}{3} \right) \] 2. Tính khoảng cách \( G_1G_2 \): - Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ G_1G_2 = \sqrt{\left( \frac{x_B + x_C + x_D}{3} - \frac{x_A + x_C + x_D}{3} \right)^2 + \left( \frac{y_B + y_C + y_D}{3} - \frac{y_A + y_C + y_D}{3} \right)^2 + \left( \frac{z_B + z_C + z_D}{3} - \frac{z_A + z_C + z_D}{3} \right)^2} \] - Rút gọn biểu thức trên: \[ G_1G_2 = \sqrt{\left( \frac{x_B - x_A}{3} \right)^2 + \left( \frac{y_B - y_A}{3} \right)^2 + \left( \frac{z_B - z_A}{3} \right)^2} \] \[ G_1G_2 = \frac{1}{3} \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] - Nhận thấy rằng \( \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \) chính là khoảng cách \( AB \): \[ G_1G_2 = \frac{1}{3} AB \] 3. Tỉ số \( \frac{G_1G_2}{AB} \): \[ \frac{G_1G_2}{AB} = \frac{\frac{1}{3} AB}{AB} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \] Vậy tỉ số \( \frac{G_1G_2}{AB} \) là \( 0.33 \). Đáp số: \( \frac{G_1G_2}{AB} = 0.33 \). Câu 18: Diện tích bề mặt của tầng thứ 11 (tầng trên cùng) là: \[ \frac{12288}{2^{11}} = \frac{12288}{2048} = 6 \text{ (m}^2\text{)} \] Đáp số: 6 m² Câu 19: Để xác định số cạnh của thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (ABA'), chúng ta cần xem xét giao tuyến giữa mặt phẳng này và các mặt của hình chóp. 1. Mặt phẳng (ABA') cắt qua đỉnh S và các đỉnh A, B của đáy hình chóp. 2. Mặt phẳng (ABA') sẽ cắt qua cạnh SA tại điểm A' (vì A' nằm trên SA). 3. Mặt phẳng (ABA') cũng sẽ cắt qua cạnh SB tại một điểm nào đó, gọi là B'. 4. Mặt phẳng (ABA') tiếp tục cắt qua cạnh SC tại một điểm nào đó, gọi là C'. 5. Cuối cùng, mặt phẳng (ABA') cắt qua cạnh SD tại một điểm nào đó, gọi là D'. Do đó, thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (ABA') là một đa giác có các đỉnh là A, B, B', C', D', và A'. Vì vậy, thiết diện này là một đa giác lục giác. Đáp số: 6 cạnh. Câu 20: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng bước một. Bài 1: Tìm giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{n - \sqrt{2n^2 + 1}}{4 + 3n}$ và biểu diễn dưới dạng $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$, sau đó tính $a^2 + b^2 + c^2$. Bước 1: Tìm giới hạn Ta có: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n - \sqrt{2n^2 + 1}}{4 + 3n} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{(n - \sqrt{2n^2 + 1})(n + \sqrt{2n^2 + 1})}{(4 + 3n)(n + \sqrt{2n^2 + 1})} \] \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - (2n^2 + 1)}{(4 + 3n)(n + \sqrt{2n^2 + 1})} \] \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{-n^2 - 1}{(4 + 3n)(n + \sqrt{2n^2 + 1})} \] Chia cả tử và mẫu cho $n^2$: \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{-1 - \frac{1}{n^2}}{\left(\frac{4}{n^2} + \frac{3}{n}\right)\left(1 + \sqrt{2 + \frac{1}{n^2}}\right)} \] \[ = \frac{-1 - 0}{(0 + 0)(1 + \sqrt{2 + 0})} \] \[ = \frac{-1}{3 \cdot \sqrt{2}} \] \[ = \frac{-1}{3\sqrt{2}} \] \[ = \frac{-\sqrt{2}}{6} \] Do đó, ta có: \[ \frac{a - \sqrt{b}}{c} = \frac{-\sqrt{2}}{6} \] So sánh ta thấy: \[ a = 0, \quad b = 2, \quad c = 6 \] Bước 2: Tính $a^2 + b^2 + c^2$ \[ a^2 + b^2 + c^2 = 0^2 + 2^2 + 6^2 = 0 + 4 + 36 = 40 \] Bài 2: Tìm giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2}$ và biểu diễn dưới dạng $\frac{b}{c}$, sau đó tìm giá trị của $a$, $b$, và $c$. Bước 1: Tìm giới hạn Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} \] Để giới hạn tồn tại hữu hạn, tử số phải bằng 0 khi $x = 2$. Do đó: \[ \sqrt{3 \cdot 2 + 3} + a = 0 \] \[ \sqrt{9} + a = 0 \] \[ 3 + a = 0 \] \[ a = -3 \] Thay $a = -3$ vào giới hạn: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x + 3} - 3}{x - 2} \] Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{3x + 3} - 3)(\sqrt{3x + 3} + 3)}{(x - 2)(\sqrt{3x + 3} + 3)} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{3x + 3 - 9}{(x - 2)(\sqrt{3x + 3} + 3)} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{3(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{3x + 3} + 3)} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{3}{\sqrt{3x + 3} + 3} \] \[ = \frac{3}{\sqrt{3 \cdot 2 + 3} + 3} \] \[ = \frac{3}{\sqrt{9} + 3} \] \[ = \frac{3}{3 + 3} \] \[ = \frac{3}{6} \] \[ = \frac{1}{2} \] Do đó, ta có: \[ \frac{b}{c} = \frac{1}{2} \] So sánh ta thấy: \[ b = 1, \quad c = 2 \] Kết luận: - Cho bài 1: $a^2 + b^2 + c^2 = 40$ - Cho bài 2: $a = -3$, $b = 1$, $c = 2$ Đáp số: - $a^2 + b^2 + c^2 = 40$ - $a = -3$, $b = 1$, $c = 2$ Câu 21: Để tính tổng \(a + b + c\), chúng ta cần biết giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\). Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp thông tin về giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\). Do đó, chúng ta cần thêm thông tin hoặc giả sử để tiếp tục giải bài toán này. Giả sử chúng ta có thêm thông tin rằng \(a\), \(b\), và \(c\) là các số thực và chúng ta cần tìm tổng của chúng. Chúng ta sẽ giả sử \(a = 1\), \(b = 2\), và \(c = 3\) để minh họa cách tính tổng. Bước 1: Xác định giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\). - \(a = 1\) - \(b = 2\) - \(c = 3\) Bước 2: Tính tổng \(a + b + c\). \[ a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6 \] Vậy tổng \(a + b + c\) là 6. Đáp số: \(a + b + c = 6\). Lưu ý: Đây chỉ là một ví dụ minh họa. Nếu có thêm thông tin về giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\), chúng ta sẽ sử dụng thông tin đó để tính toán chính xác hơn. Câu 22: Để hàm số liên tục tại điểm \( x = 1 \), ta cần đảm bảo rằng: 1. \( f(1) \) tồn tại. 2. Giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái và bên phải đều tồn tại và bằng nhau. Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ bên phải (\( x > 1 \)): \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \] Áp dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để tính giới hạn này: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2)}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x + 3) - 4}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{1 + 3} + 2} \] \[ = \frac{1}{2 + 2} \] \[ = \frac{1}{4} \] Tiếp theo, ta tính giá trị của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái (\( x \leq 1 \)): \[ f(1) = \frac{a \cdot 1 + 15}{4} = \frac{a + 15}{4} \] Để hàm số liên tục tại \( x = 1 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \] \[ \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \] Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm giá trị của \( a \): \[ \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \] \[ 1 = a + 15 \] \[ a = 1 - 15 \] \[ a = -14 \] Vậy, để hàm số liên tục tại \( x = 1 \), giá trị của \( a \) là: \[ \boxed{-14} \]