<p>Làm bài này</p>

Bài 1: a) $\lim_{n \to 0}\frac{5n^2 - 3n + 7}{n^2 - n + 2}$ Khi $n \to 0$, ta thay $n = 0$ vào biểu thức: \[ \lim_{n \to 0}\frac{5n^2 - 3n + 7}{n^2 - n + 2} = \frac{5(0)^2 - 3(0) + 7}{(0)^2 - (0) + 2} = \frac{7}{2} \] Vậy $\lim_{n \to 0}\frac{5n^2 - 3n + 7}{n^2 - n + 2} = \frac{7}{2}$. b) $\lim_{n \to \infty}(2n^2 - n + 1)$ Khi $n \to \infty$, các hạng tử bậc cao nhất sẽ chi phối giá trị của biểu thức. Vì vậy: \[ \lim_{n \to \infty}(2n^2 - n + 1) = \infty \] Vậy $\lim_{n \to \infty}(2n^2 - n + 1) = \infty$. c) $\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4n^2 - n + 2} + n}{n - 3}\right)$ Ta chia cả tử và mẫu cho $n$: \[ \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4n^2 - n + 2} + n}{n - 3}\right) = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}} + 1}{1 - \frac{3}{n}}\right) \] Khi $n \to \infty$, các phân số $\frac{1}{n}$ và $\frac{2}{n^2}$ sẽ tiến đến 0: \[ = \frac{\sqrt{4 - 0 + 0} + 1}{1 - 0} = \frac{\sqrt{4} + 1}{1} = \frac{2 + 1}{1} = 3 \] Vậy $\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4n^2 - n + 2} + n}{n - 3}\right) = 3$. Bài 2: a) Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3x - 5}{x^2 - 1} \] Ta thấy rằng khi \( x \to 2 \), cả tử và mẫu đều không bằng 0, nên ta có thể thay trực tiếp \( x = 2 \) vào biểu thức: \[ \lim_{x \to 2} \frac{2(2)^2 - 3(2) - 5}{(2)^2 - 1} = \frac{2 \cdot 4 - 6 - 5}{4 - 1} = \frac{8 - 6 - 5}{3} = \frac{-3}{3} = -1 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3x - 5}{x^2 - 1} = -1 \] b) Ta có: \[ \lim_{x \to 3} \frac{3x + 2}{x - 3} \] Ta thấy rằng khi \( x \to 3 \), mẫu số \( x - 3 \) tiến đến 0, trong khi tử số \( 3x + 2 \) tiến đến 11. Do đó, biểu thức này sẽ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to 3} \frac{3x + 2}{x - 3} = \infty \] c) Ta có: \[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x^2 - 5x + 4} \] Trước tiên, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x + 5} - 3)(\sqrt{x + 5} + 3)}{(x^2 - 5x + 4)(\sqrt{x + 5} + 3)} \] Sử dụng hằng đẳng thức \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \): \[ = \lim_{x \to 4} \frac{(x + 5) - 9}{(x^2 - 5x + 4)(\sqrt{x + 5} + 3)} = \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x^2 - 5x + 4)(\sqrt{x + 5} + 3)} \] Ta phân tích mẫu số: \[ x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) \] Do đó: \[ = \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(x - 1)(\sqrt{x + 5} + 3)} \] Rút gọn \( x - 4 \) ở tử và mẫu: \[ = \lim_{x \to 4} \frac{1}{(x - 1)(\sqrt{x + 5} + 3)} \] Thay \( x = 4 \) vào biểu thức: \[ = \frac{1}{(4 - 1)(\sqrt{4 + 5} + 3)} = \frac{1}{3 \cdot (\sqrt{9} + 3)} = \frac{1}{3 \cdot (3 + 3)} = \frac{1}{3 \cdot 6} = \frac{1}{18} \] Vậy: \[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x^2 - 5x + 4} = \frac{1}{18} \] Bài 3: Để hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \), ta cần kiểm tra tính liên tục tại điểm \( x = -2 \). Trước hết, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến \(-2\) từ bên phải: \[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} \frac{x^2 - x - 2}{x + 2} \] Ta phân tích tử số: \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \] Do đó: \[ \lim_{x \to -2^+} \frac{(x - 2)(x + 1)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} (x - 2) = -2 - 2 = -4 \] Tiếp theo, ta tính giá trị của \( f(x) \) khi \( x = -2 \): \[ f(-2) = a(-2)^2 - 5(-2) + 1 = 4a + 10 + 1 = 4a + 11 \] Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = -2 \), ta cần: \[ \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) \] \[ -4 = 4a + 11 \] Giải phương trình này: \[ 4a + 11 = -4 \] \[ 4a = -4 - 11 \] \[ 4a = -15 \] \[ a = -\frac{15}{4} \] Vậy giá trị của \( a \) để hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) là: \[ a = -\frac{15}{4} \]