Xét liên tục của hàm số

Để xét tính liên tục của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 2 \), ta cần kiểm tra ba điều kiện sau: 1. Hàm số \( f(x) \) có giá trị tại điểm \( x = 2 \). 2. Giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 tồn tại. 3. Giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Hàm số đã cho là: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 8}{x - 2}, & x \neq 2 \\ 5, & x = 2 \end{cases} \] Bước 1: Kiểm tra giá trị của hàm số tại điểm \( x = 2 \). Theo định nghĩa của hàm số, ta có: \[ f(2) = 5 \] Bước 2: Tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 2. Ta cần tính: \[ \lim_{x \to 2} f(x) \] Khi \( x \neq 2 \), ta có: \[ f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2} \] Ta nhận thấy rằng \( x^3 - 8 \) có thể được phân tích thành: \[ x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \] Do đó: \[ f(x) = \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = x^2 + 2x + 4 \quad \text{khi} \quad x \neq 2 \] Giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 2 là: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \] Bước 3: So sánh giới hạn với giá trị của hàm số tại điểm đó. Ta có: \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 12 \] \[ f(2) = 5 \] Vì \( \lim_{x \to 2} f(x) \neq f(2) \), nên hàm số \( f(x) \) không liên tục tại điểm \( x = 2 \). Kết luận: Hàm số \( f(x) \) không liên tục tại điểm \( x = 2 \).