Bài 4: Cho a b , là các số nguyên. CMR nếu 6 11 a b  chia hết cho 31 thì a b 7 cũng chia hết cho 31

Question

Accepted Answer

Bài 4:
Để chứng minh rằng nếu $6a + 11b$ chia hết cho 31 thì $a + 7b$ cũng chia hết cho 31, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Giả sử $6a + 11b$ chia hết cho 31. Điều này có nghĩa là tồn tại số nguyên $k$ sao cho:
$$ 6a + 11b = 31k $$

2. Chúng ta cần chứng minh rằng $a + 7b$ cũng chia hết cho 31. Để làm điều này, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức $a + 7b$ dựa trên giả thiết đã cho.

3. Nhân cả hai vế của đẳng thức $6a + 11b = 31k$ với 7:
$$ 7(6a + 11b) = 7 \times 31k $$
$$ 42a + 77b = 217k $$

4. Bây giờ, chúng ta sẽ trừ đi 31 lần biểu thức $a + 7b$ từ cả hai vế:
$$ 42a + 77b - 31(a + 7b) = 217k - 31(a + 7b) $$
$$ 42a + 77b - 31a - 217b = 217k - 31(a + 7b) $$
$$ 11a - 140b = 217k - 31(a + 7b) $$

5. Ta thấy rằng $11a - 140b$ phải chia hết cho 31 vì $217k$ chia hết cho 31 và $31(a + 7b)$ cũng chia hết cho 31. Do đó, $11a - 140b$ chia hết cho 31.

6. Vì $11a - 140b$ chia hết cho 31, ta có thể viết:
$$ 11a - 140b = 31m $$
với $m$ là số nguyên.

7. Bây giờ, ta sẽ biến đổi biểu thức $a + 7b$ dựa trên biểu thức $11a - 140b = 31m$:
$$ 11a - 140b = 31m $$
$$ 11a = 31m + 140b $$
$$ a = \frac{31m + 140b}{11} $$

8. Thay $a$ vào biểu thức $a + 7b$:
$$ a + 7b = \frac{31m + 140b}{11} + 7b $$
$$ a + 7b = \frac{31m + 140b + 77b}{11} $$
$$ a + 7b = \frac{31m + 217b}{11} $$
$$ a + 7b = \frac{31(m + 7b)}{11} $$

9. Ta thấy rằng $a + 7b$ có dạng $\frac{31(m + 7b)}{11}$. Vì $31(m + 7b)$ chia hết cho 31, nên $a + 7b$ cũng chia hết cho 31.

Vậy, nếu $6a + 11b$ chia hết cho 31 thì $a + 7b$ cũng chia hết cho 31.