Hỏi??????????? Cho tam giác ABC cạnh BC cố định,đỉnh A di động.Kẻ,phân giác AD của tam giác.Qua C kẻ đường thẳng,vuông góc với phân giác AD tại N.Gọi M là trung điểm,của AC tại . Chứng minh rằng khi đỉnh A di động thì,đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

Question

✨『♪ Mei_sadgirl_see_tình ♪』ッ❤️✨ · Accepted Answer

Xét tam giác ANC vuông tại N có M là trung điểm AC

⟹ AM=MN=MC (luông đúng khi A thay đổi)

⟹ tam giác AMN cân tại M

$\displaystyle \Longrightarrow \ \widehat{A_{2}} \ =\ \widehat{ANM}$

Mà$\displaystyle \ \widehat{A_{1}} =\widehat{A_{2}}$ (AN là phân giác góc BAC)

$\displaystyle \Longrightarrow \ \widehat{A_{1}} =\widehat{ANM}$(so le trong)⟹ \ MN//AB

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AC và MN//AB(cmt)

⟹ MN đi qua trung điểm của BC

Timi · Answer

Gọi H là chân đường cao hạ từ B xuống AC. Ta có:
- Trong tam giác ABC, AD là phân giác nên $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.
- Trong tam giác ABH, AN là phân giác nên $\frac{BN}{NH} = \frac{AB}{AH}$.
- Trong tam giác ACH, NC là phân giác nên $\frac{HN}{NC} = \frac{AH}{AC}$.

Từ đó ta có:
$$ \frac{BN}{NC} = \frac{BN}{NH} \times \frac{NH}{NC} = \frac{AB}{AH} \times \frac{AH}{AC} = \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} $$

Do đó, ta có:
$$ \frac{BN}{NC} = \frac{BD}{DC} $$

Vì vậy, đường thẳng MN luôn đi qua trung điểm của đoạn thẳng BH, tức là đi qua điểm cố định là trung điểm của BH.

Nocare · Answer

{"userId": 5374469, "userName": "Apple_YhHh5orueAYz1y4D7p4lMttBVxH2 "}.**Chứng minh:**

**1. Xác định điểm cố định:**

* Gọi O là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng vuông góc với AD tại N.

**2. Chứng minh MN đi qua O:**

* **Xét tam giác ADC:**
    * Do AD là phân giác nên $\frac{DC}{AC} = \frac{BD}{AB}$ (tính chất đường phân giác)
    * M là trung điểm AC nên $AM = MC$
    * Từ đó suy ra $\frac{DC}{MC} = \frac{BD}{AB}$
* **Xét tam giác BDC:**
    * Do CN vuông góc với AD nên CN // AB (hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba)
    * Áp dụng định lý Thales trong tam giác BDC, ta có: $\frac{CN}{AB} = \frac{DC}{BD}$
* **Kết hợp hai kết quả trên:**
    * $\frac{DC}{MC} = \frac{BD}{AB} = \frac{CN}{AB}$
    * Suy ra $\frac{DC}{MC} = \frac{CN}{AB}$
    * Do đó, theo định lý Thales đảo, ta có MN // BC.
* **Mặt khác:**
    * MN vuông góc với AD (do CN vuông góc với AD)
    * BC vuông góc với AD (do AD là phân giác)
    * Suy ra MN trùng với BC.
* **Kết luận:**
    * Do MN trùng với BC và BC đi qua O nên MN luôn đi qua điểm cố định O.

**Vậy, khi đỉnh A di động thì đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định O là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng vuông góc với AD tại N.**