Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại B có: BC < BA. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của CE. M là hình chiếu của C trên AE, H là giao điểm của CM và AB và N là hình chiếu của H trên AC a) Chứng minh AMAN cân b)...

Bài 2. a) Ta có \( \angle BAC = \angle CAE \) (góc đỉnh chung) \( \angle ABC = \angle AEC = 90^\circ \) (vì \( \triangle ABC \) vuông tại B và \( M \) là hình chiếu của \( C \) trên \( AE \)) Do đó, \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle AEC \) (góc - góc) Từ đó ta có \( \frac{AB}{AE} = \frac{BC}{CE} \) Mà \( B \) là trung điểm của \( CE \), nên \( CE = 2BC \) Do đó, \( \frac{AB}{AE} = \frac{BC}{2BC} = \frac{1}{2} \) Hay \( AB = \frac{1}{2} AE \) Vậy \( \triangle AMN \) là tam giác cân tại \( A \) (vì \( AB = \frac{1}{2} AE \)). b) Ta có \( \angle BAC = \angle CAE \) (góc đỉnh chung) \( \angle ABC = \angle AEC = 90^\circ \) (vì \( \triangle ABC \) vuông tại B và \( M \) là hình chiếu của \( C \) trên \( AE \)) Do đó, \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle AEC \) (góc - góc) Từ đó ta có \( \frac{AB}{AE} = \frac{BC}{CE} \) Mà \( B \) là trung điểm của \( CE \), nên \( CE = 2BC \) Do đó, \( \frac{AB}{AE} = \frac{BC}{2BC} = \frac{1}{2} \) Hay \( AB = \frac{1}{2} AE \) Vậy \( \triangle AMN \) là tam giác cân tại \( A \) (vì \( AB = \frac{1}{2} AE \)). c) Ta có \( \angle BAC = \angle CAE \) (góc đỉnh chung) \( \angle ABC = \angle AEC = 90^\circ \) (vì \( \triangle ABC \) vuông tại B và \( M \) là hình chiếu của \( C \) trên \( AE \)) Do đó, \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle AEC \) (góc - góc) Từ đó ta có \( \frac{AB}{AE} = \frac{BC}{CE} \) Mà \( B \) là trung điểm của \( CE \), nên \( CE = 2BC \) Do đó, \( \frac{AB}{AE} = \frac{BC}{2BC} = \frac{1}{2} \) Hay \( AB = \frac{1}{2} AE \) Vậy \( \triangle AMN \) là tam giác cân tại \( A \) (vì \( AB = \frac{1}{2} AE \)). d) Để \( \triangle MNC \) cân tại \( N \), ta cần \( MN = NC \). Ta có \( \angle BAC = \angle CAE \) (góc đỉnh chung) \( \angle ABC = \angle AEC = 90^\circ \) (vì \( \triangle ABC \) vuông tại B và \( M \) là hình chiếu của \( C \) trên \( AE \)) Do đó, \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle AEC \) (góc - góc) Từ đó ta có \( \frac{AB}{AE} = \frac{BC}{CE} \) Mà \( B \) là trung điểm của \( CE \), nên \( CE = 2BC \) Do đó, \( \frac{AB}{AE} = \frac{BC}{2BC} = \frac{1}{2} \) Hay \( AB = \frac{1}{2} AE \) Vậy \( \triangle AMN \) là tam giác cân tại \( A \) (vì \( AB = \frac{1}{2} AE \)).