Cho 1 hình tròn tâm O bán kính là R=60m. Dựng tam giác đều A1B1C1 nội tiếp đường tròn, sau đó lấy đường tròn nội tiếp tam giác A1B1C1. Cứ tiếp tục làm quá trình như trên. Tính diện tích của tam giác A9...

Để tính diện tích của tam giác đều \(A_9B_9C_9\) nội tiếp đường tròn, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích của tam giác đều \(A_1B_1C_1\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 60\) m: Diện tích của tam giác đều nội tiếp đường tròn có công thức: \[ S_{A_1B_1C_1} = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 \] Thay \(R = 60\) vào công thức: \[ S_{A_1B_1C_1} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 60^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 3600 = 2700\sqrt{3} \] 2. Tính diện tích của tam giác đều \(A_2B_2C_2\) nội tiếp đường tròn nội tiếp tam giác \(A_1B_1C_1\): Đường tròn nội tiếp tam giác đều \(A_1B_1C_1\) có bán kính \(r_1\) bằng \(\frac{1}{3}\) bán kính đường tròn ngoại tiếp ban đầu: \[ r_1 = \frac{R}{3} = \frac{60}{3} = 20 \text{ m} \] Diện tích của tam giác đều \(A_2B_2C_2\) nội tiếp đường tròn này: \[ S_{A_2B_2C_2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} r_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 20^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 400 = 300\sqrt{3} \] 3. Tính diện tích của tam giác đều \(A_3B_3C_3\) nội tiếp đường tròn nội tiếp tam giác \(A_2B_2C_2\): Đường tròn nội tiếp tam giác đều \(A_2B_2C_2\) có bán kính \(r_2\) bằng \(\frac{1}{3}\) bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A_2B_2C_2\): \[ r_2 = \frac{r_1}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ m} \] Diện tích của tam giác đều \(A_3B_3C_3\) nội tiếp đường tròn này: \[ S_{A_3B_3C_3} = \frac{3\sqrt{3}}{4} r_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{20}{3}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times \frac{400}{9} = \frac{300\sqrt{3}}{9} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \] 4. Tính diện tích của tam giác đều \(A_9B_9C_9\) nội tiếp đường tròn nội tiếp tam giác \(A_8B_8C_8\): Mỗi lần giảm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều sẽ giảm \(\frac{1}{3}\) lần. Do đó, sau 8 lần giảm, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều \(A_9B_9C_9\) sẽ là: \[ r_8 = \frac{R}{3^8} = \frac{60}{6561} \approx 0.00914 \text{ m} \] Diện tích của tam giác đều \(A_9B_9C_9\) nội tiếp đường tròn này: \[ S_{A_9B_9C_9} = \frac{3\sqrt{3}}{4} r_8^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{60}{6561}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times \frac{3600}{43046721} = \frac{2700\sqrt{3}}{43046721} \approx 0.0000627 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích của tam giác đều \(A_9B_9C_9\) là: \[ S_{A_9B_9C_9} \approx 0.0000627 \text{ m}^2 \]