sossssssssss

Bài 1. 1) a) Tần số tương đối của mỗi nhóm: - Nhóm $[10,20)$: $\frac{12}{60} = 0,2$ - Nhóm $[20,30)$: $\frac{15}{60} = 0,25$ - Nhóm $[30,40)$: $\frac{21}{60} = 0,35$ - Nhóm $[40,50)$: $\frac{12}{60} = 0,2$ Bảng tần số tương đối ghép nhóm: \n\n\n Nhóm,"$[10,20)$","[20,30)"," [30,40) ","[40,50)",Cộng Tần số tương đối (f),0,2,0,25,0,35,0,2,1 \n\n\n b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột: - Nhóm $[10,20)$: Cột cao 20% - Nhóm $[20,30)$: Cột cao 25% - Nhóm $[30,40)$: Cột cao 35% - Nhóm $[40,50)$: Cột cao 20% 2) a) Số các số tự nhiên có hai chữ số được viết từ các chữ số của tập hợp $A$ là: - 44, 45, 46 - 54, 55, 56 - 64, 65, 66 Tổng cộng có 9 số tự nhiên có hai chữ số. b) Số các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được viết từ các chữ số của tập hợp $A$ là: - 45, 46 - 54, 56 - 64, 65 Tổng cộng có 6 số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. c) Xác suất của biến cố "Số được viết có hai chữ số khác nhau": \[ P = \frac{\text{Số các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau}}{\text{Tổng số các số tự nhiên có hai chữ số}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] Đáp số: $\frac{2}{3}$ Bài II. Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 4 \). 1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \): \[ A = \frac{x + 3}{\sqrt{x} - 2} \] Thay \( x = 16 \) vào biểu thức: \[ A = \frac{16 + 3}{\sqrt{16} - 2} = \frac{19}{4 - 2} = \frac{19}{2} \] 2) Rút gọn biểu thức \( B \): \[ B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{3\sqrt{x} + 6}{x - 4} \] Nhận thấy rằng \( x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) \), ta có thể viết lại biểu thức \( B \) như sau: \[ B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{3(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{3(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 2) - 3(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 3 - 3)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \] 3) Chứng minh \( \frac{A}{B} > 3 \): \[ \frac{A}{B} = \frac{\frac{x + 3}{\sqrt{x} - 2}}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}} = \frac{x + 3}{\sqrt{x}} \] Ta cần chứng minh: \[ \frac{x + 3}{\sqrt{x}} > 3 \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} \) (vì \( \sqrt{x} > 0 \)): \[ x + 3 > 3\sqrt{x} \] Di chuyển \( 3\sqrt{x} \) sang vế trái: \[ x + 3 - 3\sqrt{x} > 0 \] Nhận thấy rằng: \[ x + 3 - 3\sqrt{x} = (\sqrt{x} - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} \] Biểu thức này luôn lớn hơn 0 vì nó là tổng của một bình phương và một số dương. Vậy ta đã chứng minh được \( \frac{A}{B} > 3 \). Bài III. 1) Gọi theo kế hoạch, các bạn lớp 9A dự định làm x chiếc phong bao lì xì. Theo đề bài, ta có: \frac{x}{50} - \frac{x}{57} = \frac{1}{1} + \frac{13}{57} x = 600 Đáp số: 600 chiếc phong bao lì xì 2) Gọi quãng đường từ Hà Nội về Nam Định là x km Theo đề bài, ta có: \frac{x}{1 \frac{2}{3}} - \frac{x}{1 \frac{5}{6}} = 6 x = 102 Tốc độ của ô tô thứ nhất là: 102 : 1 \frac{2}{3} = 61,2 (km/h) Tốc độ của ô tô thứ hai là: 61,2 - 6 = 55,2 (km/h) Đáp số: 102 km; 61,2 km/h; 55,2 km/h Bài IV. 1) Diện tích phần giấy để làm quạt là: \[ \left( \frac{1}{2} \times 3,14 \times 21^2 - \frac{1}{2} \times 3,14 \times 6^2 \right) \times 2 = 1283,16 \text{ cm}^2 \] 2) a) Chứng minh $\Delta ABC$ vuông tại A và DA. $DC=DA^2$: - $\Delta ABC$ là tam giác nội tiếp nửa đường tròn (O; R) nên $\Delta ABC$ vuông tại A. - Xét $\Delta DAB$ và $\Delta DAC$, ta có: - $\angle DAB = \angle DAC$ (góc chung) - $\angle DBA = \angle DCA$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AC) - Vậy $\Delta DAB \sim \Delta DAC$ (g.g) - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{DA}{DB} = \frac{DC}{DA}$ - Suy ra: $DA^2 = DB \cdot DC$ b) Chứng minh bốn điểm D, B, O, E cùng thuộc một đường tròn và $DI \cdot DO = DA \cdot DC$: - Ta có $\angle DBE = \angle DOE$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BE) - Do đó bốn điểm D, B, O, E cùng thuộc một đường tròn. - Xét $\Delta DIO$ và $\Delta DAE$, ta có: - $\angle DIO = \angle DAE$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BE) - $\angle DOI = \angle DAE$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BE) - Vậy $\Delta DIO \sim \Delta DAE$ (g.g) - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{DI}{DO} = \frac{DA}{DE}$ - Suy ra: $DI \cdot DO = DA \cdot DE$ c) Chứng minh IG song song với BC: - Ta có $\angle EMB = \angle EBC$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BE) - Do đó $\angle EMB = \angle EBC$ - Vì $\angle EMB = \angle EBC$ nên IG song song với BC. Bài V. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số máy tối ưu sao cho chi phí sản xuất là thấp nhất. Chúng ta sẽ tính toán chi phí thiết lập máy móc và chi phí giám sát để tìm ra tổng chi phí thấp nhất. Gọi số máy cần sử dụng là \( n \) (điều kiện: \( n > 0 \)). 1. Tính thời gian sản xuất: Mỗi máy sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Để sản xuất 8000 quả bóng, số giờ cần thiết là: \[ \text{Thời gian sản xuất} = \frac{8000}{30n} = \frac{800}{3n} \text{giờ} \] 2. Tính chi phí thiết lập máy móc: Chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng. Vậy tổng chi phí thiết lập là: \[ \text{Chi phí thiết lập} = 200n \text{ nghìn đồng} \] 3. Tính chi phí giám sát: Chi phí giám sát là 192 nghìn đồng mỗi giờ. Vậy tổng chi phí giám sát là: \[ \text{Chi phí giám sát} = 192 \times \frac{800}{3n} = \frac{153600}{n} \text{ nghìn đồng} \] 4. Tổng chi phí sản xuất: Tổng chi phí sản xuất là tổng của chi phí thiết lập và chi phí giám sát: \[ \text{Tổng chi phí} = 200n + \frac{153600}{n} \text{ nghìn đồng} \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí: Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thử các giá trị \( n \) gần gũi để tìm giá trị tối ưu. Ta thử các giá trị \( n \): - Khi \( n = 20 \): \[ \text{Tổng chi phí} = 200 \times 20 + \frac{153600}{20} = 4000 + 7680 = 11680 \text{ nghìn đồng} \] - Khi \( n = 21 \): \[ \text{Tổng chi phí} = 200 \times 21 + \frac{153600}{21} = 4200 + 7314.29 = 11514.29 \text{ nghìn đồng} \] - Khi \( n = 22 \): \[ \text{Tổng chi phí} = 200 \times 22 + \frac{153600}{22} = 4400 + 6981.82 = 11381.82 \text{ nghìn đồng} \] - Khi \( n = 23 \): \[ \text{Tổng chi phí} = 200 \times 23 + \frac{153600}{23} = 4600 + 6678.26 = 11278.26 \text{ nghìn đồng} \] - Khi \( n = 24 \): \[ \text{Tổng chi phí} = 200 \times 24 + \frac{153600}{24} = 4800 + 6400 = 11200 \text{ nghìn đồng} \] - Khi \( n = 25 \): \[ \text{Tổng chi phí} = 200 \times 25 + \frac{153600}{25} = 5000 + 6144 = 11144 \text{ nghìn đồng} \] - Khi \( n = 26 \): \[ \text{Tổng chi phí} = 200 \times 26 + \frac{153600}{26} = 5200 + 5907.69 = 11107.69 \text{ nghìn đồng} \] - Khi \( n = 27 \): \[ \text{Tổng chi phí} = 200 \times 27 + \frac{153600}{27} = 5400 + 5688.89 = 11088.89 \text{ nghìn đồng} \] - Khi \( n = 28 \): \[ \text{Tổng chi phí} = 200 \times 28 + \frac{153600}{28} = 5600 + 5485.71 = 11085.71 \text{ nghìn đồng} \] - Khi \( n = 29 \): \[ \text{Tổng chi phí} = 200 \times 29 + \frac{153600}{29} = 5800 + 5296.55 = 11096.55 \text{ nghìn đồng} \] Qua các phép tính trên, ta thấy rằng khi \( n = 28 \), tổng chi phí là thấp nhất, với giá trị là 11085.71 nghìn đồng. Đáp số: Công ty nên sử dụng 28 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.