Tìm tất cả các bộ số tự nhiên (a,b,c) thỏa mãn: $\left(a+b+3\right)\left(a^2+b^2+3\right)\left(a^4+b^4+3\right)=3^c$

Để tìm tất cả các bộ số tự nhiên $(a, b, c)$ thỏa mãn: \[ \left(a+b+3\right)\left(a^2+b^2+3\right)\left(a^4+b^4+3\right)=3^c, \] ta sẽ xét từng trường hợp của $a$ và $b$. Trường hợp 1: $a = 0$ - Thay $a = 0$ vào phương trình: \[ (0 + b + 3)(0^2 + b^2 + 3)(0^4 + b^4 + 3) = 3^c \] \[ (b + 3)(b^2 + 3)(b^4 + 3) = 3^c \] Sub-trường hợp 1.1: $b = 0$ - Thay $b = 0$ vào phương trình: \[ (0 + 3)(0^2 + 3)(0^4 + 3) = 3^c \] \[ 3 \times 3 \times 3 = 3^c \] \[ 3^3 = 3^c \] Vậy $c = 3$. Ta có bộ số $(0, 0, 3)$. Sub-trường hợp 1.2: $b = 1$ - Thay $b = 1$ vào phương trình: \[ (1 + 3)(1^2 + 3)(1^4 + 3) = 3^c \] \[ 4 \times 4 \times 4 = 3^c \] \[ 4^3 = 3^c \] Điều này không thể xảy ra vì $4^3$ không bằng $3^c$ với bất kỳ giá trị nào của $c$. Do đó, không có bộ số $(0, 1, c)$ thỏa mãn. Sub-trường hợp 1.3: $b \geq 2$ - Với $b \geq 2$, ta thấy rằng $(b + 3)$, $(b^2 + 3)$, và $(b^4 + 3)$ đều lớn hơn 3. Do đó, tích của chúng sẽ lớn hơn $3^c$ với bất kỳ giá trị nào của $c$. Vì vậy, không có bộ số $(0, b, c)$ thỏa mãn với $b \geq 2$. Trường hợp 2: $a = 1$ - Thay $a = 1$ vào phương trình: \[ (1 + b + 3)(1^2 + b^2 + 3)(1^4 + b^4 + 3) = 3^c \] \[ (b + 4)(b^2 + 4)(b^4 + 4) = 3^c \] Sub-trường hợp 2.1: $b = 0$ - Thay $b = 0$ vào phương trình: \[ (0 + 4)(0^2 + 4)(0^4 + 4) = 3^c \] \[ 4 \times 4 \times 4 = 3^c \] \[ 4^3 = 3^c \] Điều này không thể xảy ra vì $4^3$ không bằng $3^c$ với bất kỳ giá trị nào của $c$. Do đó, không có bộ số $(1, 0, c)$ thỏa mãn. Sub-trường hợp 2.2: $b = 1$ - Thay $b = 1$ vào phương trình: \[ (1 + 4)(1^2 + 4)(1^4 + 4) = 3^c \] \[ 5 \times 5 \times 5 = 3^c \] \[ 5^3 = 3^c \] Điều này không thể xảy ra vì $5^3$ không bằng $3^c$ với bất kỳ giá trị nào của $c$. Do đó, không có bộ số $(1, 1, c)$ thỏa mãn. Sub-trường hợp 2.3: $b \geq 2$ - Với $b \geq 2$, ta thấy rằng $(b + 4)$, $(b^2 + 4)$, và $(b^4 + 4)$ đều lớn hơn 3. Do đó, tích của chúng sẽ lớn hơn $3^c$ với bất kỳ giá trị nào của $c$. Vì vậy, không có bộ số $(1, b, c)$ thỏa mãn với $b \geq 2$. Trường hợp 3: $a \geq 2$ - Với $a \geq 2$, ta thấy rằng $(a + b + 3)$, $(a^2 + b^2 + 3)$, và $(a^4 + b^4 + 3)$ đều lớn hơn 3. Do đó, tích của chúng sẽ lớn hơn $3^c$ với bất kỳ giá trị nào của $c$. Vì vậy, không có bộ số $(a, b, c)$ thỏa mãn với $a \geq 2$. Kết luận Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng chỉ có bộ số $(0, 0, 3)$ thỏa mãn phương trình ban đầu. Vậy bộ số tự nhiên $(a, b, c)$ thỏa mãn là: \[ (0, 0, 3) \]