bhsbananabbbb

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin x - x + 1 \). Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần của hàm số. \[ \int f(x) \, dx = \int (\sin x - x + 1) \, dx \] Bước 2: Tính nguyên hàm từng thành phần. \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 \] \[ \int -x \, dx = -\frac{x^2}{2} + C_2 \] \[ \int 1 \, dx = x + C_3 \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên lại. \[ \int f(x) \, dx = -\cos x - \frac{x^2}{2} + x + C \] Trong đó, \(C\) là hằng số tích phân tổng hợp từ \(C_1\), \(C_2\), và \(C_3\). Do đó, khẳng định đúng là: A. $\int f(x) \, dx = -\cos x - \frac{x^2}{2} + x + C$ Đáp án: A. $\int f(x) \, dx = -\cos x - \frac{x^2}{2} + x + C$ Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 1 + e^x \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \). - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại để tìm nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int f(x) \, dx = \int (1 + e^x) \, dx = \int 1 \, dx + \int e^x \, dx = x + e^x + C \] Do đó, khẳng định đúng là: C. $\int f(x) \, dx = x + e^x + C$. Đáp án: C. $\int f(x) \, dx = x + e^x + C$. Câu 3: Để tính tích phân \( I = \int^\pi_0 \sin x \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số \(\sin x\). Nguyên hàm của \(\sin x\) là \(-\cos x\). Do đó: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. Tích phân xác định từ \(0\) đến \(\pi\) của \(\sin x\) là: \[ I = \left[ -\cos x \right]^\pi_0 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. Thay \(x = \pi\) vào biểu thức \(-\cos x\): \[ -\cos(\pi) = -(-1) = 1 \] Thay \(x = 0\) vào biểu thức \(-\cos x\): \[ -\cos(0) = -(1) = -1 \] Bước 4: Tính hiệu giữa giá trị tại cận trên và cận dưới. \[ I = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \] Vậy, tích phân \( I = \int^\pi_0 \sin x \, dx \) có giá trị là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 4: Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{1} (2x - 1) \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 2x - 1 \). \[ \int (2x - 1) \, dx = \int 2x \, dx - \int 1 \, dx \] \[ = 2 \int x \, dx - \int 1 \, dx \] \[ = 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) - x + C \] \[ = x^2 - x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân trên đoạn [0, 1]. \[ I = \left[ x^2 - x \right]_{0}^{1} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. \[ I = \left( 1^2 - 1 \right) - \left( 0^2 - 0 \right) \] \[ = (1 - 1) - (0 - 0) \] \[ = 0 - 0 \] \[ = 0 \] Vậy tích phân \( I = \int_{0}^{1} (2x - 1) \, dx = 0 \). Đáp án đúng là: D. \( I = 0 \). Câu 5: Để viết công thức tính thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = a \), \( x = b \) (với \( a < b \)), xung quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích mặt cắt ngang: Khi quay một dải mỏng rộng \( dx \) của hình thang cong xung quanh trục Ox, ta sẽ tạo ra một hình trụ mỏng với bán kính \( f(x) \) và chiều cao \( dx \). Diện tích mặt cắt ngang của hình trụ mỏng này là: \[ dA = \pi [f(x)]^2 \, dx \] 2. Tích phân để tính thể tích: Để tính thể tích toàn bộ khối tròn xoay, ta tích phân diện tích mặt cắt ngang này từ \( x = a \) đến \( x = b \): \[ V = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \, dx \] Do đó, công thức tính thể tích \( V \) của khối tròn xoay là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Vậy đáp án đúng là: D. \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \) Đáp án: D. \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \) Câu 6: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x = a\), \(x = b\), \(y = f(x)\) và trục hoành, ta sử dụng công thức tích phân để tính diện tích dưới đồ thị hàm số \(f(x)\). Công thức tính diện tích \(S\) là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Trong đó: - \(a\) và \(b\) là các cận của đoạn trên trục hoành. - \(|f(x)|\) đảm bảo rằng diện tích luôn dương, kể cả khi \(f(x)\) có giá trị âm. Dựa vào các lựa chọn đã cho: A. \( S = \int_{0}^{2} |f(x)| \, dx \) B. \( S = \pi \int_{0}^{2} [f(x)]^2 \, dx \) C. \( S = \pi \int_{0}^{b} f(x) \, dx \) D. \( S = \int_{0}^{2} f(x) \, dx \) Chúng ta thấy rằng lựa chọn đúng là: A. \( S = \int_{0}^{2} |f(x)| \, dx \) Lý do: - Lựa chọn này sử dụng công thức tích phân đúng để tính diện tích dưới đồ thị hàm số \(f(x)\) từ \(x = 0\) đến \(x = 2\). - Tích phân \(|f(x)|\) đảm bảo rằng diện tích luôn dương, kể cả khi \(f(x)\) có giá trị âm. Do đó, đáp án đúng là: A. \( S = \int_{0}^{2} |f(x)| \, dx \) Câu 7: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = (2x - 3)^2 \) thỏa mãn \( F(-1) = -17 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Ta có: \[ f(x) = (2x - 3)^2 \] Áp dụng công thức nguyên hàm của \( u^n \): \[ \int (2x - 3)^2 \, dx = \int (4x^2 - 12x + 9) \, dx \] \[ = \int 4x^2 \, dx - \int 12x \, dx + \int 9 \, dx \] \[ = 4 \cdot \frac{x^3}{3} - 12 \cdot \frac{x^2}{2} + 9x + C \] \[ = \frac{4x^3}{3} - 6x^2 + 9x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) sao cho \( F(-1) = -17 \). Thay \( x = -1 \) vào \( F(x) \): \[ F(-1) = \frac{4(-1)^3}{3} - 6(-1)^2 + 9(-1) + C \] \[ = \frac{-4}{3} - 6 - 9 + C \] \[ = \frac{-4}{3} - 15 + C \] \[ = \frac{-4 - 45}{3} + C \] \[ = \frac{-49}{3} + C \] Theo đề bài, \( F(-1) = -17 \): \[ \frac{-49}{3} + C = -17 \] \[ C = -17 + \frac{49}{3} \] \[ C = \frac{-51 + 49}{3} \] \[ C = \frac{-2}{3} \] Bước 3: Viết phương án cuối cùng. Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = \frac{4x^3}{3} - 6x^2 + 9x + \frac{2}{3} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( \frac{4x^3}{3} - 6x^2 + 9x + \frac{2}{3} \). Câu 8: Để tìm lợi nhuận của doanh nghiệp theo thời gian, ta cần tích phân hàm $P'(t)$ để tìm được hàm $P(t)$. Bước 1: Xác định hàm $P'(t)$ \[ P'(t) = 125 + t^2 \] Bước 2: Tích phân hàm $P'(t)$ để tìm $P(t)$ \[ P(t) = \int (125 + t^2) \, dt \] \[ P(t) = \int 125 \, dt + \int t^2 \, dt \] \[ P(t) = 125t + \frac{t^3}{3} + C \] Ở đây, $C$ là hằng số tích phân. Vì không có thông tin cụ thể về giá trị ban đầu của $P(t)$, ta có thể coi $C = 0$ để đơn giản hóa. Do đó, lợi nhuận của doanh nghiệp theo thời gian được tính theo công thức: \[ P(t) = 125t + \frac{t^3}{3} \] Vậy đáp án đúng là: A. $P(t) = 125t + \frac{t^3}{3}$ Đáp án: A. $P(t) = 125t + \frac{t^3}{3}$ Câu 9: Để tính tích phân $\int^4_0\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm nguyên của $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$. - Ta thấy rằng $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ có dạng $\frac{1}{(2x+1)^{1/2}}$. - Để tìm nguyên hàm của nó, ta có thể sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt $u = 2x + 1$, suy ra $du = 2dx$ hoặc $dx = \frac{1}{2}du$. Bước 2: Thay đổi cận tích phân theo biến mới. - Khi $x = 0$, ta có $u = 2(0) + 1 = 1$. - Khi $x = 4$, ta có $u = 2(4) + 1 = 9$. Bước 3: Tính tích phân mới. - Tích phân ban đầu trở thành: \[ \int^4_0 \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx = \int^9_1 \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int^9_1 u^{-1/2} du \] Bước 4: Tính nguyên hàm của $u^{-1/2}$. - Nguyên hàm của $u^{-1/2}$ là $\frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}$. - Do đó: \[ \frac{1}{2} \int^9_1 u^{-1/2} du = \frac{1}{2} \left[ 2u^{1/2} \right]^9_1 = \left[ u^{1/2} \right]^9_1 \] Bước 5: Thay cận vào để tính giá trị cuối cùng. - Ta có: \[ \left[ u^{1/2} \right]^9_1 = 9^{1/2} - 1^{1/2} = 3 - 1 = 2 \] Vậy, $\int^4_0 \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx = 2$. Đáp án đúng là: A. 2.