Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H thuộc BC). Trên đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho HD= HA. Đường vuông góc với BC cắt D và AC tại E. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BE. Chứng m...

trang anh

Giải:

a) Chứng minh tam giác DEC đồng dạng tam giác ABC

• Ta có: ∠DEC=∠BAC=90o (DE vuông góc với BC, tam giác ABC vuông tại A)
• ∠C chung Vậy, tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC (g.g)

b) Chứng minh tam giác ADC đồng dạng tam giác BEC

• Ta có: ∠ADC=∠BEC=90o (DE vuông góc với BC, AH vuông góc với BC)
• ∠DCA=∠ECB (hai góc đối đỉnh) Vậy, tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (g.g)

c) Chứng minh AB.AC = BC.AH

• Từ kết quả câu a), ta có: ABDE​=ACDC​
• Từ kết quả câu b), ta có: BEAD​=BCDC​
• Nhân theo vế hai đẳng thức trên, ta được: AB.BEDE.AD​=AC.BCDC2​
• Mà DE.AD = AH² (do DEHA là hình chữ nhật) và BE = 2HM
• Nên ta có: 2AB.HMAH2​=AC.BCDC2​
• Do tam giác AHC đồng dạng với tam giác BDC (g.g), nên DCAH​=BCAC​
• Suy ra: 2AB.HMAH2​=BC2AC2​
• Từ đó suy ra: AB.AC = BC.AH

d) Chứng minh góc AHM = 45 độ

• Ta có: ∠BAH=∠ACH (cùng phụ với góc HAC)
• Mà ∠ACH=∠ADE (do tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC)
• Nên ∠BAH=∠ADE
• Mặt khác, ∠ADE=∠HAM (so le trong)
• Suy ra: ∠BAH=∠HAM
• Do đó, tam giác AHM cân tại H
• Mà ∠AHM+∠HAM=90o (tam giác AHM vuông tại M)
• Nên ∠AHM=45o