Một quả bóng rơi từ độ cao 15m xuống đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 2/3 độ cao trước đó Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc bắt đầu rơi đến khi dừng hẳn

Quả bóng rơi từ độ cao 15m xuống đất, sau đó nảy lên với độ cao bằng $\frac{2}{3}$ của độ cao trước đó. Quả bóng tiếp tục rơi và nảy lên theo quy luật này cho đến khi dừng hẳn. Ta sẽ tính tổng quãng đường quả bóng đi được từ lúc bắt đầu rơi đến khi dừng hẳn. 1. Quãng đường ban đầu: - Quả bóng rơi từ độ cao 15m xuống đất. - Quãng đường ban đầu là 15m. 2. Quãng đường nảy lên và rơi xuống: - Sau khi chạm đất, quả bóng nảy lên với độ cao $\frac{2}{3} \times 15 = 10$ m. - Quả bóng rơi từ độ cao 10m xuống đất. - Tổng quãng đường trong lần này là $10 + 10 = 20$ m. 3. Quãng đường tiếp theo: - Quả bóng nảy lên với độ cao $\frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3}$ m. - Quả bóng rơi từ độ cao $\frac{20}{3}$ m xuống đất. - Tổng quãng đường trong lần này là $\frac{20}{3} + \frac{20}{3} = \frac{40}{3}$ m. 4. Quãng đường tiếp theo: - Quả bóng nảy lên với độ cao $\frac{2}{3} \times \frac{20}{3} = \frac{40}{9}$ m. - Quả bóng rơi từ độ cao $\frac{40}{9}$ m xuống đất. - Tổng quãng đường trong lần này là $\frac{40}{9} + \frac{40}{9} = \frac{80}{9}$ m. Nhìn vào quy luật trên, ta thấy rằng tổng quãng đường quả bóng đi được sau mỗi lần nảy lên và rơi xuống tạo thành một dãy số vô hạn với công bội là $\frac{2}{3}$. Tổng quãng đường quả bóng đi được từ lúc bắt đầu rơi đến khi dừng hẳn là: \[ S = 15 + 20 + \frac{80}{9} + \cdots \] Dãy số này là một dãy số vô hạn với công bội $r = \frac{2}{3}$ và số hạng đầu tiên là $a = 20$. Tổng của dãy số này là: \[ S_{\text{vô hạn}} = \frac{a}{1 - r} = \frac{20}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{20}{\frac{1}{3}} = 60 \] Vậy tổng quãng đường quả bóng đi được từ lúc bắt đầu rơi đến khi dừng hẳn là: \[ S = 15 + 60 = 75 \text{ m} \] Đáp số: 75 m