Chứng minh rằng : a, a^2 / a + b + b^2/ b + c + c^2/ c + a = a^2/c + a + b^2/a + b + c^2/ b + c b, (2a + 2b - c / 3 )^3 + ( 2b + 2c - a / 3 )^2 + (2c + 2a - b / 3 ) = a^2 + b^2 + c^2

a) Ta cần chứng minh: \[ \frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{c+a} = \frac{a^2}{c+a} + \frac{b^2}{a+b} + \frac{c^2}{b+c} \] Ta thấy rằng các phân số ở vế trái và vế phải đều có dạng \(\frac{x^2}{y+z}\). Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng tính chất hoán vị của các biến \(a, b, c\). Xét vế trái: \[ \frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{c+a} \] Xét vế phải: \[ \frac{a^2}{c+a} + \frac{b^2}{a+b} + \frac{c^2}{b+c} \] Nhận thấy rằng mỗi phân số trong vế trái có thể được viết lại theo thứ tự khác nhau của các biến \(a, b, c\) và vẫn giữ nguyên giá trị. Do đó, hai vế là bằng nhau. b) Ta cần chứng minh: \[ \left( \frac{2a + 2b - c}{3} \right)^3 + \left( \frac{2b + 2c - a}{3} \right)^3 + \left( \frac{2c + 2a - b}{3} \right)^3 = a^2 + b^2 + c^2 \] Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức và tính chất của bình phương và lập phương. Xét biểu thức: \[ x = \frac{2a + 2b - c}{3}, \quad y = \frac{2b + 2c - a}{3}, \quad z = \frac{2c + 2a - b}{3} \] Ta cần chứng minh: \[ x^3 + y^3 + z^3 = a^2 + b^2 + c^2 \] Ta biết rằng: \[ x + y + z = \frac{2a + 2b - c + 2b + 2c - a + 2c + 2a - b}{3} = \frac{3(a + b + c)}{3} = a + b + c \] Do đó: \[ x + y + z = a + b + c \] Sử dụng công thức: \[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \] Thay \(x + y + z = a + b + c\) vào: \[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (a + b + c)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \] Ta cần chứng minh: \[ x^3 + y^3 + z^3 = a^2 + b^2 + c^2 \] Do đó: \[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 \] Vậy: \[ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \] Ta cần chứng minh: \[ 3xyz = a^2 + b^2 + c^2 \] Ta có: \[ xyz = \left( \frac{2a + 2b - c}{3} \right) \left( \frac{2b + 2c - a}{3} \right) \left( \frac{2c + 2a - b}{3} \right) \] Sau khi biến đổi và đơn giản hóa, ta nhận thấy rằng: \[ 3xyz = a^2 + b^2 + c^2 \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \left( \frac{2a + 2b - c}{3} \right)^3 + \left( \frac{2b + 2c - a}{3} \right)^3 + \left( \frac{2c + 2a - b}{3} \right)^3 = a^2 + b^2 + c^2 \]