Câu 17: (2,0 điểm) Cho đường tròn bán kính và dây cung BC cố định. Một điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn nhọn. Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H. BE cắt đường...

Câu 17:

1.Ta có: $\widehat{H E C}=\widehat{H D C}=90^{\circ} \rightarrow H D C E$ nội tiếp đường tròn đường kính $H C$
2.Vi $A M$ là đường kính của $(O) \rightarrow \widehat{A B M}=\widehat{A C M}=90^{\circ}$

$
\begin{aligned}
& \rightarrow M B \perp A B, M C \perp A C \\
& \rightarrow M B / / H C, M C / / H B
\end{aligned}
$

$\rightarrow B H C M$ là hình bình hành
$\rightarrow H M \cap B C$ tại trung điểm mỗi đường
Ta có: $O I \perp B C \rightarrow I$ là trung điểm $B C$
$\rightarrow I$ đồng thời là trung điểm $H M$
$\rightarrow O I$ là đường trung bình $\triangle H A M$

$\rightarrow A H=2 O I=2 \sqrt{O B^2-B I^2}=2 \sqrt{R^2-\left(\frac{R \sqrt{3}}{2}\right)^2}=R$

Ta có:

$
\begin{aligned}
& \widehat{A F H}=\widehat{A F B}=\widehat{A B C}=\widehat{E C D}=\widehat{A H F} \\
& \rightarrow \triangle A H F \text { cân tại } A \\
& \rightarrow A H=A F \\
& \rightarrow A F=R
\end{aligned}
$
$
\begin{aligned}
&\text { 3.Xét } \triangle D B H, \Delta D A C \text { có: }\\
&\begin{aligned}
& \widehat{H D B}=\widehat{A D C}\left(=90^{\circ}\right) \\
& \widehat{B D H}=90^{\circ}-\widehat{E C B}=\widehat{D A C} \\
& \rightarrow \Delta D B H \sim \Delta D A C(g \cdot g) \\
& \rightarrow \frac{D B}{D A}=\frac{D H}{D C} \\
& \rightarrow D H . D A=D B . D C \leq \frac{1}{4}(D B+D C)=\frac{1}{4} B C^2 \\
& \rightarrow \text { Dấu =xảy ra khi } D B=D C \rightarrow D \text { là trung điểm } B C \\
& \rightarrow A \text { nằm chính giữa cung } B C
\end{aligned}
\end{aligned}
$