tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức newton của (1/x + x^3)^4

Question

Accepted Answer

Để tìm số hạng không chứa $ x $ trong khai triển nhị thức Newton của $ \left( \frac{1}{x} + x^3 \right)^4 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết công thức khai triển nhị thức Newton:
$$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$

Trong đó, $ a = \frac{1}{x} $, $ b = x^3 $, và $ n = 4 $.

Bước 2: Áp dụng công thức khai triển:
$$ \left( \frac{1}{x} + x^3 \right)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} \left( \frac{1}{x} \right)^{4-k} (x^3)^k $$

Bước 3: Xác định số hạng không chứa $ x $:
Một số hạng không chứa $ x $ khi tổng các lũy thừa của $ x $ trong số hạng đó bằng 0. Ta có:
$$ \left( \frac{1}{x} \right)^{4-k} (x^3)^k = x^{-(4-k)} x^{3k} = x^{-(4-k) + 3k} = x^{4k - 4} $$

Để số hạng này không chứa $ x $, ta cần:
$$ 4k - 4 = 0 $$
$$ 4k = 4 $$
$$ k = 1 $$

Bước 4: Tính số hạng tương ứng với $ k = 1 $:
$$ \binom{4}{1} \left( \frac{1}{x} \right)^{4-1} (x^3)^1 = \binom{4}{1} \left( \frac{1}{x} \right)^3 x^3 = \binom{4}{1} \cdot \frac{1}{x^3} \cdot x^3 = \binom{4}{1} \cdot 1 = 4 $$

Vậy số hạng không chứa $ x $ trong khai triển nhị thức Newton của $ \left( \frac{1}{x} + x^3 \right)^4 $ là 4.