Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), trung tuyến AH, AH cắt (O) tại D (D ≠ A). Trên tia đối của tia DB lấy điểm E di động sao cho (BCE) ̂<(AHC) ̂. Vẽ tia Ex sao cho (BEx) ̂=(BCA) ̂, Ex cắt AC tại F. a) Chứ...

The Anh Dương

Chào bạn, tôi sẽ giúp bạn giải bài toán hình học này từng bước một.

Đề bài:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), trung tuyến AH, AH cắt (O) tại D (D ≠ A). Trên tia đối của tia DB lấy điểm E di động sao cho (BCE) = (AHC). Vẽ tia Ex sao cho (BEx) = (BCA); Ex cắt AC tại F.

a) Chứng minh: Tứ giác BECF nội tiếp và AD // EF.

b) Chứng minh: ΔABF ~ ΔDCE và BF.BD = CA.CE

Lời giải:

a) Chứng minh: Tứ giác BECF nội tiếp và AD // EF.

• Tứ giác BECF nội tiếp:
• Ta có: (BEx) = (BCA) (gt)
• Mà (BCA) = (BCE) (gt)
• Suy ra: (BEx) = (BCE)
• Vậy tứ giác BECF nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện).
• AD // EF:
• Ta có: (BEx) = (BCA) (gt)
• Suy ra: Ex // AC hay EF // AC
• Mà AH là trung tuyến của tam giác ABC nên H là trung điểm BC.
• Do đó, AD là đường trung bình của tam giác ABC.
• Suy ra: AD // BC
• Mặt khác, EF // AC
• Vậy AD // EF.

b) Chứng minh: ΔABF ~ ΔDCE và BF.BD = CA.CE

• ΔABF ~ ΔDCE:
• Ta có: (BEx) = (BCA) (gt)
• Suy ra: (BEF) = (BAC)
• Hay (ABF) = (DCE) (1)
• Mặt khác, (BCE) = (AHC) (gt)
• Mà (AHC) = (DCE) (góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
• Suy ra: (BCE) = (DCE)
• Hay (BCF) = (DCE) (2)
• Từ (1) và (2) suy ra: ΔABF ~ ΔDCE (g.g).
• BF.BD = CA.CE:
• Vì ΔABF ~ ΔDCE (cmt)
• Suy ra: (\frac{AB}{DC} = \frac{BF}{CE})
• Hay BF.DC = AB.CE (3)
• Mặt khác, (BDC) = (BAC) (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
• Mà (BAC) = (BEF) (cmt)
• Suy ra: (BDC) = (BEF)
• Do đó, tứ giác BDEF nội tiếp.
• Suy ra: (DBE) = (DFE) (góc nội tiếp cùng chắn cung DE)
• Mà (DFE) = (BAC) (so le trong)
• Suy ra: (DBE) = (BAC)
• Xét ΔABD và ΔCBE có:
• (ABD) = (CBE) (cmt)
• (\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{BE}) (chứng minh trên)
• Suy ra: ΔABD ~ ΔCBE (c.g.c)
• Suy ra: (\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{BE})
• Hay AB.BE = BC.BD (4)
• Từ (3) và (4) suy ra: BF.BD = CA.CE.