8. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . C là một điểm nằm giữa O và A . Đường
thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I . K là một điểm bất kỳ nằm
trên đoạn thẳng CI (K khác C và I ) , tia AK cắt nửa đường tròn ( ) O tại M , tia BM cắt
tia CI tại D . Gọi E đối xứng với B qua C .
a) Chứng minh: ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh:   AB MBC D .
c) CKMB là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Question

8. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . C là một điểm nằm giữa O và A . Đường 
thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I . K là một điểm bất kỳ nằm 
trên đoạn thẳng CI (K khác C và I ) , tia AK cắt nửa đường tròn ( ) O tại M , tia BM cắt 
tia CI tại D . Gọi E đối xứng với B qua C . 
a) Chứng minh: ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn. 
b) Chứng minh:   AB MBC D . 
c) CKMB là tứ giác nội tiếp đường tròn.

tienthuy172 · Accepted Answer

a.Ta có $A B$ là đường kính của $(O) \to A M ⊥ M B$

$\to \hat{D M A} = \hat{D C A} = 90^{o}$

$\to A C M D$ nội tiếp

Lại có $\hat{K C B} = \hat{K M B} = 90^{o}$

$\to B C K M$ nội tiếp

b.Xét $Δ C K A, Δ C D B$ có:

$\hat{K C A} = \hat{D C B} (= 90^{o})$

$\hat{K A C} = \hat{M A C} = \hat{M D C} = \hat{B D C}$

$\to Δ C A K \sim Δ C D B (g . g)$

$\to \frac{C A}{C D} = \frac{C K}{C B}$

$\to C K . C D = C A . C B$

c.Ta có $K \in (O) \to A N ⊥ N B \to B N ⊥ A D$

Vì $A M ⊥ B D, B N ⊥ A D, A M \cap B N = K \to K$ là trực tâm $Δ D A B \to B K ⊥ A D$

$\to B, K, N$ thẳng hàng

d.Trên tia đối của tia $C B$ lấy điểm $E$ sao cho $C E = C B$

Ta có $C K . C D = C A . C B \to C K . C D = C A . C E$

$\to \frac{C K}{C A} = \frac{C E}{C D}$

Mà $\hat{K C A} = \hat{D C E}$

$\to Δ C A K \sim Δ C D E (c . g . c)$

$\to \hat{C K A} = \hat{A E D}$

$\to A K D E$ nội tiếp

$\to E \in (A K D)$

$\to$ Tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A K D$ nằm trên trung trực $A E$ cố định

Timi · Answer

a) Ta có: $\widehat{ACM}=\widehat{ABM}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow ACMD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn (tổng hai góc đối bằng 180°)

b) Ta có: $\widehat{BAM}=\widehat{BCM}$ (cùng chắn cung BM)
$\widehat{ABM}=\widehat{BCD}$ (chứng minh ở phần a)
$\Rightarrow 	riangle ABM \sim 	riangle BCD$ (g.g)

c) Ta có: $\widehat{CKB}=\widehat{CMB}$ (cùng chắn cung CB)
$\Rightarrow CKMB$ là tứ giác nội tiếp đường tròn (tổng hai góc đối bằng 180°)

8. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . C là một điểm nằm giữa O và A . Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I . K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và...