8. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . C là một điểm nằm giữa O và A . Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I . K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và...

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AM\perp MB$

$\to \widehat{DMA}=\widehat{DCA}={90}^o$

$\to ACMD$ nội tiếp

Lại có $\widehat{KCB}=\widehat{KMB}={90}^o$

$\to BCKM$ nội tiếp

b.Xét $\mathrm{\Delta }CKA,\mathrm{\Delta }CDB$ có:

$\widehat{KCA}=\widehat{DCB}(={90}^o)$ 

$\widehat{KAC}=\widehat{MAC}=\widehat{MDC}=\widehat{BDC}$

$\to \mathrm{\Delta }CAK\sim \mathrm{\Delta }CDB(g.g)$

$\to {\displaystyle \frac{CA}{CD}}={\displaystyle \frac{CK}{CB}}$

$\to CK.CD=CA.CB$

c.Ta có $K\in (O)\to AN\perp NB\to BN\perp AD$

Vì $AM\perp BD,BN\perp AD,AM\cap BN=K\to K$ là trực tâm $\mathrm{\Delta }DAB\to BK\perp AD$

$\to B,K,N$ thẳng hàng

d.Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $CE=CB$

Ta có $CK.CD=CA.CB\to CK.CD=CA.CE$

$\to {\displaystyle \frac{CK}{CA}}={\displaystyle \frac{CE}{CD}}$

Mà $\widehat{KCA}=\widehat{DCE}$

$\to \mathrm{\Delta }CAK\sim \mathrm{\Delta }CDE(c.g.c)$

$\to \widehat{CKA}=\widehat{AED}$

$\to AKDE$ nội tiếp

$\to E\in (AKD)$

$\to$Tâm đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{\Delta }AKD$ nằm trên trung trực $AE$ cố định