Cho ∆ABC nhọn ( AB<AC). Các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh: BEDC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: BEHF là tứ giác nội tiếp c) EH là tia phân giác góc DEF

a) Chứng minh: BEDC là tứ giác nội tiếp

Ta có:

BD là đường cao của tm giác ABC nên $\displaystyle BD\ \bot \ AC\ \Longrightarrow \ \widehat{BDC} \ =\ 90^{0}$

CE là đường cao của tam giác ABC nên $\displaystyle CE\ \bot \ AB\ \Longrightarrow \ \widehat{BEC} \ =\ 90^{0}$

Xét tứ giác BEDC có:

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{BDC} \ =\ 90^{0}\\
\widehat{BEC} \ =\ 90^{0}\\
\Longrightarrow \ \widehat{BDC} \ +\ \widehat{BEC} \ =\ \ 180^{0}
\end{array}$

Mà $\displaystyle \widehat{BDC} \ và\ \widehat{BEC}$ là hai góc đối nhau của tứ giác BEDC.

Vậy, tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (điều phải chứng minh).

b) Chứng minh: BEHF là tứ giác nội tiếp

Ta có:

$\displaystyle \widehat{BEC} \ =\ 90^{0}$ (chứng minh trên) ⟹ $\displaystyle \widehat{HEB} \ =\ 90^{0}$ (do góc HEB và góc BEC là hai góc đối đỉnh)

AF là đường cao của tam giác ABC nên $\displaystyle AF\ \bot \ BC\ \Longrightarrow \ \widehat{BFA} \ =\ 90^{0} \ \Longrightarrow \ \widehat{BFH} \ =\ 90^{0} \ $(do góc BFA và góc BFH là hai góc đối đỉnh)

Xét tứ giác BEHF có:

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{HEB} \ =\ 90^{0}\\
\widehat{BFH} \ =\ 90^{0}\\
\Longrightarrow \ \widehat{HEB} \ +\ \widehat{BFH} \ =\ 90^{0} \ +\ 90^{0} \ =\ 180^{0}
\end{array}$

Mà góc HEB và góc BFH là hai góc đối nhau của tứ giác BEHF.

Vậy, tứ giác BEHF là tứ giác nội tiếp (điều phải chứng minh).

c) Chứng minh: EH là tia phân giác góc DEF

Vì BEDC là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên) nên:

góc EBD = góc ECD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ED) (1)

Vì BEHF là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên) nên:

góc EBH = góc EFH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH) (2)

Mà: $\displaystyle \widehat{EBD} \ =\ \widehat{EBH} \ ( 3)$

Từ (1), (2) và (3) ⟹ góc ECD = góc EFH

Hay: góc ECD = góc HEF \ \ (4)

Mặt khác: góc ECD = góc HED (cùng phụ với góc DEC) \ (5)

Từ (4) và (5) ⟹ góc HEF = góc HED

Vậy, EH là tia phân giác góc DEF (điều phải chứng minh).