Phương trình x²-2x-m+1=0 (m là tham số) có một nghiệm là x = 1 + √7. Tính giá trị của biểu thức A =x1^2x2+x2^2x1

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Thay nghiệm đã biết vào phương trình để tìm giá trị của m: Phương trình đã cho là: \[ x^2 - 2x - m + 1 = 0 \] Thay \( x = 1 + \sqrt{7} \) vào phương trình: \[ (1 + \sqrt{7})^2 - 2(1 + \sqrt{7}) - m + 1 = 0 \] Ta có: \[ (1 + 2\sqrt{7} + 7) - 2 - 2\sqrt{7} - m + 1 = 0 \] \[ 8 - 2 - m + 1 = 0 \] \[ 7 - m = 0 \] \[ m = 7 \] 2. Tìm nghiệm còn lại của phương trình: Với \( m = 7 \), phương trình trở thành: \[ x^2 - 2x - 6 = 0 \] Ta đã biết một nghiệm là \( x_1 = 1 + \sqrt{7} \). Để tìm nghiệm còn lại \( x_2 \), ta sử dụng tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -6 \] Thay \( x_1 = 1 + \sqrt{7} \) vào: \[ (1 + \sqrt{7}) + x_2 = 2 \] \[ x_2 = 2 - (1 + \sqrt{7}) \] \[ x_2 = 1 - \sqrt{7} \] 3. Tính giá trị của biểu thức \( A = x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 \): Ta có: \[ A = x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 \] \[ A = x_1 x_2 (x_1 + x_2) \] Thay \( x_1 = 1 + \sqrt{7} \), \( x_2 = 1 - \sqrt{7} \) và \( x_1 + x_2 = 2 \): \[ x_1 x_2 = (1 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7}) = 1 - 7 = -6 \] \[ A = (-6) \cdot 2 = -12 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = -12 \]